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在量子力学里，量子系统的量子态可以用波函数（英语：wave function）来描述。薛丁格方程式设定波函数如何随著时间流逝而演化。从数学角度来看，薛丁格方程式乃是一种波动方程式，因此，波函数具有类似波的性质。这说明了波函数这术语的命名原因。

波函数 <math>\Psi (\mathbf{r},t)</math> 是一种複值函数，表示粒子在位置 <math>\mathbf{r}</math> 、时间 <math>t</math> 的机率幅，它的绝对值平方 <math>|\Psi(\mathbf{r},t)|^2</math> 是在位置 <math>\mathbf{r}</math> 、时间 <math>t</math> 找到粒子的机率密度。以另一种角度诠释，波函数<math>\Psi (\mathbf{r},t)</math>是「在某时间、某位置发生相互作用的概率幅」。

波函数的概念在量子力学里非常基础与重要，诸多关于量子力学诠释像谜一样之结果与困惑，都源自于波函数，甚至今天，这些论题仍旧尚未获得满意解答。

历史

在1920年代与1930年代，理论量子物理学者大致分为两个阵营。第一个阵营的成员主要为路易·德布罗意和埃尔温·薛丁格等等，他们使用的数学工具是微积分，他们共同创建了波动力学。第二个阵营的成员主要为维尔纳·海森堡和马克斯·玻恩等等，使用线性代数，他们建立了矩阵力学。后来，薛丁格证明这两种方法完全等价。

德布罗意于1924年提出的德布罗意假说表明，每一种微观粒子都具有波粒二象性。电子也不例外，具有这种性质。电子是一种波动，是电子波。电子的能量与动量分别决定了它的物质波频率与波数。既然粒子具有波粒二象性，应该会有一种能够正确描述这种量子特性的波动方程式，这点子给予埃尔温·薛定谔极大的启示，他因此开始寻找这波动方程式。薛定谔参考威廉·哈密顿先前关于牛顿力学与光学之间的类比这方面的研究，在其中隐藏了一个奥妙的发现，即在零波长极限，物理光学趋向于几何光学；也就是说，光波的轨道趋向于明确的路径，而这路径遵守最小作用量原理。哈密顿认为，在零波长极限，波传播趋向于明确的运动，但他并没有给出一个具体方程式来描述这波动行为，而薛定谔给出了这方程式。他从哈密顿-雅可比方程成功地推导出薛定谔方程式。他又用自己设计的方程式来计算氢原子的谱线，得到的答案与用波耳模型计算出的答案相同。他将这波动方程式与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文，1926年，正式发表于物理学界。从此，量子力学有了一个崭新的理论平台。

薛丁格给出的薛定谔方程式能够正确地描述波函数的量子行为。那时，物理学者尚未能解释波函数的涵义，薛定谔尝试用波函数来代表电荷的密度，但遭到失败。1926年，玻恩提出机率幅的概念，成功地解释了波函数的物理意义。可是，薛定谔本人不赞同这种统计或机率方法，和它所伴随的非连续性波函数塌缩，如同爱因斯坦认为量子力学只是个决定性理论的统计近似，薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最后一年，他写给玻恩的一封信内，薛定谔清楚地表明了这意见。

1927年，道格拉斯·哈特里（Douglas Hartree）与弗拉基米尔·福克（Vladimir Fock）在对于多体波函数的研究踏出了第一步，他们发展出哈特里－福克方程来近似方程的解。这计算方法最先由哈特里提出，后来福克将之加以改善，能够符合包立不相容原理的要求。

薛定谔方程式不具有劳仑兹不变性 ，无法淮确给出符合相对论的结果。薛定谔试著用相对论的能量动量关系式，来寻找一个相对论性方程式，并且描述电子的相对论性量子行为。但是这方程式给出的精细结构不符合阿诺·索末菲的结果，又会给出违背量子力学的负机率和怪异的负能量现象，他只好将这相对论性部分暂时搁置一旁，先行发表前面提到的非相对论性部分。

1926年，奥斯卡·克莱因（Oskar Klein）和沃尔特·戈尔登（Walter Gordon）将电磁相对作用纳入考量，独立地给出薛定谔先前推导出的相对论性部分，并且证明其具有劳仑兹不变性。这方程式后来称为克莱因-戈尔登方程式。

1928年，保罗·狄拉克最先成功地统一了狭义相对论与量子力学，他推导出狄拉克方程式，适用于电子等等自旋为1/2的粒子。这方程式的波函数是一个旋量，拥有自旋性质。

位置空间波函数

假设一个自旋为零的粒子移动于一维空间。这粒子的量子态以波函数表示为 <math>\Psi(x,t)</math> ；其中，<math>x</math> 是位置，<math>t</math> 是时间。波函数是複值函数。测量粒子位置所得到的结果不是决定性的，而是机率性的。粒子的位置 <math>x</math> 在区间 <math>[a,b]</math> （即 <math>a\le x\le b</math> ）的机率<math>P_{a\le x\le b}</math>为

<math>P_{a\le x\le b} = \int\limits_a^b \,|\Psi(x,t)|^2 \mathrm{d} x</math> ；

其中，<math>t</math> 是对于粒子位置做测量的时间。

换句话说，<math>|\Psi(x,t)|^2</math> 是粒子在位置 <math>x</math> 、时间 <math>t</math> 的机率密度。

这导致归一化条件：在位置空间的任意位置找到粒子的机率为100%：

<math>\int\limits_{-\infty}^\infty \, |\Psi(x,t)|^2 \mathrm{d}x = 1</math> 。

动量空间波函数

在动量空间，粒子的波函数表示为 <math>\Phi(p,t)</math> ；其中，<math>p</math> 是一维动量，值域从 <math>-\infty</math> 至 <math>+\infty</math> 。测量粒子动量所得到的结果不是决定性的，而是机率性的。粒子的动量 <math>p</math> 在区间 <math>[a,b]</math> （即 <math>a\le p\le b</math> ）的机率为

<math>P_{a\le p\le b} = \int\limits_a^b \,|\Phi(p,t)|^2 \mathrm{d}p</math> 。

动量空间波函数的归一化条件也类似：

<math> \int\limits_{-\infty}^{\infty} \, \left | \Phi ( p, t ) \right |^2 \mathrm{d}p = 1</math> 。

两种波函数之间的关系

位置空间波函数与动量空间波函数彼此是对方的傅立叶变换。他们各自拥有的信息相同，任何一种波函数都可以用来计算粒子的相关性质。两种波函数之间的关系为

<math>\Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\limits_{-\infty}^\infty \, e^{-ipx/\hbar} \Psi(x,t) \mathrm{d}x</math> 、

<math>\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\limits_{-\infty}^\infty \, e^{ipx/\hbar} \Phi(p,t) \mathrm{d}p</math> 。

薛丁格方程式

在一维空间里，运动于位势 <math>V(x)</math> 的单独粒子，其波函数满足含时薛丁格方程式

<math> - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t)+V(x)\Psi(x,t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)</math> ；

其中，<math>m</math> 是质量，<math>\hbar</math> 是约化普朗克常数。

不含时薛丁格方程式与时间无关，可以用来计算粒子的本徵能量与其它相关的量子性质。应用分离变数法，猜想 <math>\Psi(x,\,t)</math> 的函数形式为

<math>\Psi(x,\,t)= \psi_E(x) e^{ - iEt/\hbar}</math> ；

其中，<math>E</math> 是分离常数，稍加推导可以论定 <math>E</math> 就是能量，<math>\psi_E(x)</math> 是对应于 <math>E</math> 的本徵函数。

代入这猜想解，经过一番运算，可以推导出一维不含时薛丁格方程式：

<math> - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi_E(x)+V(x)\psi_E(x)=E\psi_E(x) </math> 。

波函数的概率诠释

波函数 <math>\Psi (\mathbf{r},t)</math> 是概率波。其模的平方 <math>\vert\Psi (\mathbf{r},t)\vert^2\,</math> 代表粒子在该处出现的概率密度，并且具有归一性，全空间的积分

<math>\int\vert\Psi (\mathbf{r},t)\vert^2\,d^3\,x=1</math> 。

波函数的另一个重要特性是相干性。两个波函数迭加，概率的大小取决于两个波函数的相位差，类似光学中的杨氏双缝实验。

波函数的本征值和本征态

在量子力学中，可观察量 <math>A</math> 以算符 <math>\hat{A}</math> 的形式出现。<math>\hat{A}</math> 代表对于波函数的一种运算。例如，在位置空间里，动量算符 <math>\hat{\mathbf{p}}</math> 的形式为

<math>\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla</math> 。

可观察量 <math>A</math> 的本徵方程式为

<math>\hat{A}\psi=a\psi</math> 。

对应的 <math>a</math> 称为算符 <math>\hat{A}</math> 的本徵值，<math>\psi</math> 称为算符 <math>\hat{A}</math> 的本徵态。假设对于 <math>\hat{A}</math> 的本徵态 <math>\psi</math> 再测量可观察量 <math>A</math> ，则得到的结果是本徵值 <math>a</math> 。

态迭加原理

假设对于某量子系统测量可观察量 <math>A</math> ，而可观察量 <math>A</math> 的本徵态 <math>|a_1\rang</math> 、<math>|a_2\rang</math> 分别拥有本徵值 <math>a_1</math> 、<math>a_2</math> ，则根据薛定谔方程的线性关系，叠加态 <math>|\psi\rang</math> 也可以是这量子系统的量子态：

<math>|\psi\rang=c_{1}|a_1\rang+c_{2}|a_2\rang</math> ；

其中， <math>c_1</math> 、<math>c_2</math> 分别为叠加态处于本徵态 <math>|a_1\rang</math> 、<math>|a_2\rang</math> 的机率幅。

假设对这叠加态系统测量可观察量 <math>A</math> ，则测量获得数值是 <math>a_{1}</math> 或 <math>a_{2}</math> 的机率分别为 <math>|c_{1}|^2</math> 、<math>|c_{2}|^2</math> ，期望值为

<math>\langle\psi |A|\psi\rang=|c_{1}|^2 a_1 +|c_{2}|^2 a_2</math> 。

定态

在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符 <math>\hat{H}</math> 不含时间的情况。对于这问题，应用分离变数法，可以将波函数 <math>\Psi (\mathbf{r},t)</math> 分离成一个只与位置有关的函数 <math>\psi (\mathbf{r})</math> 和一个只与时间有关的函数 <math>f(t)</math> ：

<math>\Psi (\mathbf{r},t)=\psi (\mathbf{r})f(t)</math> 。

将这公式代入薛定谔方程，就会得到

<math>f(t)=\exp{(-iEt/\hbar )}</math> 。

而 <math>\psi(\mathbf{r})</math> 则满足本徵能量薛丁格方程式：

<math>\hat{H}\psi(\mathbf{r})=E\psi(\mathbf{r})</math> 。

例子

自由粒子

3D空间中的自由粒子，其波矢 为k ， 角频率 为ω，其波函数为：

<math>\Psi (\mathbf{r},t) = A e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}\,.</math>

无限深方形阱

粒子被限制在x = 0和x L之间的1D空间中，其波函数为:

<math>\begin{align}

\Psi (x,t) & = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-i\omega_n t}, & \quad 0 \leq x \leq L \\ \Psi (x,t) & = 0, & x < 0, x > L \\ \end{align} </math>

其中，<math>\hbar\omega_n=\frac{n^2 h^2}{8mL^2}</math>是能量本徵值，<math>n</math>是正整数，<math>m</math>是质量。

有限位势垒

在1D情况下，粒子处于如下势垒中：

<math>V(x)=\begin{cases}V_0 & |x|<a \\ 0 & \text{otherwise,}\end{cases}</math>

其波函数的定态解为(<math>k, \kappa</math>为常数)

<math>\psi (x) = \begin{cases}

A_{\mathrm{r}}\exp(ikx)+A_{\mathrm{l}}\exp(-ikx) & x<-a, \\ B_{\mathrm{r}}\exp(\kappa x)+B_{\mathrm{l}}\exp(-\kappa x) & |x|\le a, \\ C_{\mathrm{r}}\exp(ikx)+C_{\mathrm{l}}\exp(-ikx) & x>a. \end{cases} </math>

量子点

量子点是在把激子在三个空间方向上束缚住的半导体纳米结构。粒子在三个方向上都处在势阱中。势阱可以由于静电势（由外部的电极，掺杂，应变，杂质产生），两种不同半导体材料的界面（例如：在自组量子点中），半导体的表面（例如：半导体纳米晶体），或者以上三者的结合。量子点具有分离的量子化的能谱。所对应的波函数在空间上位于量子点中，但延伸于数个晶格周期中。其中的能级可以用类似无限深方形阱的模型来描述，能级位置取决于势阱宽度。

参阅

• 波包