普林斯頓微積分讀本

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《普林斯頓微積分讀本》，[美] 阿德里安·班納 著，楊爽，趙曉婷，高璞 譯，出版社： 人民郵電出版社。

內容簡介

本書是作者多年來給普林斯頓大學本科一年級學生開設微積分的每周複習課。本書專注於講述解題技巧，目的是幫助讀者學習一元微積分的主要概念。深入處理一些基本內容，還複習一些主題。本書不僅可以作為參考書，也可以作為教材，定會成為任何一位需要微積分知識人學習一元微積分的非常好的指導書。

目錄

第1章函數、圖像和直線……………………1

1.1　函數……………………1

1.1.1　區間表示法……………………3

1.1.2　求定義域……………………3

1.1.3　利用圖像求值域……………………4

1.1.4　垂線檢驗……………………5

1.2　反函數……………………6

1.2.1　水平線檢驗……………………7

1.2.2　求反函數……………………8

1.2.3　限制定義域……………………　8

1.2.4　反函數的反函數……………　9

1.3　函數的複合…………………………………　10

1.4　奇函數和偶函數…………………………　12

1.5　線性函數的圖像…………………………　14

1.6　常見函數及其圖像………………………　16

第2　章三角學回顧…………………………………　21

2.1　基本知識………………………………………　21

2.2　擴展三角函數定義域…………………　23

2.2.1　ASTC方法……………………　25

2.2.2　[0，2π]以外的三角函數…………………………………　27

2.3　三角函數的圖像…………………………　29

2.4　三角恆等式…………………………………　32

第3　章極限導論………………………………………　34

3.1　極限：基本思想…………………………　34

3.2　左極限與右極限…………………………　36

3.3　何時不存在極限…………………………　37

3.4　在∞和-∞處的極限……………　38

3.5　關於漸近線的兩個常見誤解………　41

3.6　三明治定理…………………………………　43

3.7　極限的基本類型小結…………………　45

第4　章求解多項式的極限問題………………　47

4.1　x→a時的有理函數的極限………　47

4.2　x→a時的平方根的極限…………　50

4.3　x→∞時的有理函數的極限……　51

4.4　x→∞時的多項式型函數的極限……　56

4.5　x→-∞時的有理函數的極限……………　59

4.6　包含絕對值的函數的極限…………　61

第5　章連續性和可導性…………………………　63

5.1　連續性…………………………………………　63

5.1.1　在一點處連續…………………　63

5.1.2　在一個區間上連續…………　64

5.1.3　連續函數的一些例子……　65

5.1.4　介值定理…………………………　67

5.1.5　一個更難的介值定理

例子…　………………………………　69

5.1.6　連續函數的最大值和

最小值…　…………………………　70

5.2　可導性…………………………………………　71

5.2.1　平均速率…………………………　72

5.2.2　位移和速度……………………　72

5.2.3　瞬時速度…………………………　73

5.2.4　速度的圖像闡釋……………　74

5.2.5　切線…………………………………　75

5.2.6　導函數……………………………　77

5.2.7　作為極限比的導數…………　78

5.2.8　線性函數的導數……………　80

5.2.9　二階導數和更高階導數…………………………………　80

5.2.10　何時導數不存在……………　81

5.2.11　可導性和連續性……………　82

第6　章求解微分問題……………………………　84

6.1　使用定義求導………………………………　84

6.2　用更好的辦法求導………………………　87

6.2.1　函數的常數倍…………………　88

6.2.2　函數和與函數差……………　88

6.2.3　通過乘積法則求積函數的導數…………………………　88

6.2.4　通過商法則求商函數的導數…………………………　90

6.2.5　通過鏈式求導法則求複合函數的導數…………　91

6.2.6　那個難以處理的例子……　94

6.2.7　乘積法則和鏈式求導法則的理由…………………　96

6.3　求切線方程…………………………………　98

6.4　速度和加速度………………………………　99

6.5　導數偽裝的極限…………………………　101

6.6　分段函數的導數…………………………　103

6.7　直接畫出導函數的圖像………………　106

第7　章三角函數的極限和導數………………　111

7.1　三角函數的極限…………………………　111

7.1.1　小數的情況……………………　111

7.1.2　問題的求解——小數的情況……………………………　113

7.1.3　大數的情況……………………　117

7.1.4　其他的"情況………………　120

7.1.5　一個重要極限的證明……　121

7.2　三角函數的導數…………………………　124

7.2.1　求三角函數導數的例子…………………………………　127

7.2.2　簡諧運動…………………………　128

7.2.3　一個有趣的函數……………　129

第8　章隱函數求導和相關變化率…………　132

8.1　隱函數求導…………………………………　132

8.1.1　技巧和例子……………………　133

8.1.2　隱函數求二階導……………　137

8.2　相關變化率…………………………………　138

8.2.1　一個簡單的例子……………　139

8.2.2　一個稍難的例子……………　141

8.2.3　一個更難的例子……………　142

8.2.4　一個非常難的例子…………　144

第9　章指數函數和對數函數…………………　148

9.1　基礎知識………………………………………　148

9.1.1　指數函數的回顧……………　148

9.1.2　對數函數的回顧……………　149

9.1.3　對數函數、指數函數及反函數…………………………　150

9.1.4　對數法則…………………………　151

9.2　e的定義………………………………………　153

9.2.1　一個有關複利的問題……　153

9.2.2　問題的答案……………………　154

9.2.3　更多關於e和對數函數的內容……………………　156

9.3　對數函數和指數函數求導…………　158

9.4　求解指數函數或對數函數的極限……………………………　161

9.4.1　涉及e的定義的極限……　161

9.4.2　指數函數在0附近的行為…………………………………　162

9.4.3　對數函數在1附近的行為…………………………………　164

9.4.4　指數函數在∞或-∞附近的行為……………　164

9.4.5　對數函數在∞附近的行為…………………………………　167

9.4.6　對數函數在0附近的行為…………………………………　168

9.5　取對數求導法………………………………　169

9.6　指數增長和指數衰變…………………　173

9.6.1　指數增長…………………………　174

9.6.2　指數衰變…………………………　176

9.7　雙曲函數………………………………………　178

第10　章反函數和反三角函數………………　181

10.1　導數和反函數……………………………　181

10.1.1　使用導數證明反函數存在………………………………　181

10.1.2　導數和反函數：可能出現的問題……………………　182

10.1.3　求反函數的導數……………　183

10.1.4　一個綜合性例子……………　185

10.2　反三角函數………………………………　187

10.2.1　反正弦函數……………………　187

10.2.2　反餘弦函數……………………　190

10.2.3　反正切函數……………………　192

10.2.4　反正割函數……………………　194

10.2.5　反餘割函數和反餘切函數………………………………　195

10.2.6　計算反三角函數……………　196

10.3　反雙曲函數………………………………　199

第11　章導數和圖像………………………………　202

11.1　函數的極值………………………………　202

11.1.1　全局極值和局部極值……　202

11.1.2　極值定理………………………　203

11.1.3　求全局最大值和最小值………………………………　204

11.2　羅爾定理……………………………………　206

11.3　中值定理……………………………………　209

11.4　二階導數和圖像………………………　212

11.5　對導數為零點的分類………………　215

11.5.1　使用一次導數………………　215

11.5.2　使用二階導數………………　217

第12　章繪製函數圖像……………………………　219

12.1　建立符號表格……………………………　219

12.1.1　建立一階導數的符號表格………………………………　221

12.1.2　建立二階導數的符號表格………………………………　222

12.2　繪製函數圖像的全面方法………　224

12.3　例題……………………………………………　225

12.3.1　一個不使用導數的例子………………………………　225

12.3.2　完整的方法：例一………　227

12.3.3　完整的方法：例二………　229

12.3.4　完整的方法：例三………　231

12.3.5　完整的方法：例四………　234

第13　章最優化和線性化………………………　239

13.1　最優化………………………………………　239

13.1.1　一個簡單的最優化例子………………………………　239

13.1.2　最優化問題：一般方法………………………………　240

13.1.3　一個最優化的例子………　241

13.1.4　另一個最優化的例子……　242

13.1.5　在最優化問題中使用隱函數求導……………………　246

13.1.6　一個較難的最優化例子………………………………　246

13.2　線性化………………………………………　249

13.2.1　線性化問題：一般方法………………………………　251

13.2.2　微分………………………………　252

13.2.3　線性化的總結和例子……　254

13.2.4　近似中的誤差………………　256

13.3　牛頓法………………………………………　258

第14　章洛必達法則及極限問題總結……　263

14.1　洛必達法則………………………………　263

14.1.1　類型A：0/0…………………　263

14.1.2　類型A：±∞/±∞……　266

14.1.3　類型B1：(∞-∞)……　267

14.1.4　類型B2：(0x±∞)……　269

14.1.5　類型C：1±∞，00或∞0…………　270

14.1.6　洛必達法則類型的總結………………………………　272

14.2　關於極限的總結………………………　273

第15　章積分…………………………………………　276

15.1　求和符號……………………………………　276

15.1.1　一個有用的求和……………　279

15.1.2　伸縮求和法……………………　280

15.2　位移和面積………………………………　283

15.2.1　三個簡單的例子……………　283

15.2.2　一段更常規的旅行………　285

15.2.3　有向面積………………………　287

15.2.4　連續的速度……………………　288

15.2.5　兩個特別的估算……………　291

第16　章定積分………………………………………　293

16.1　基本思想……………………………………　293

16.2　定積分的定義……………………………　297

16.3　定積分的性質……………………………　301

16.4　求面積………………………………………　305

16.4.1　求通常的面積………………　306

16.4.2　求解兩條曲線之間的面積………………………………　308

16.4.3　求曲線與y軸所圍成的面積……………………………　310

16.5　估算積分……………………………………　313

16.6　積分的平均值和中值定理………　316

16.7　不可積的函數……………………………　319

第17　章微積分基本定理………………………　321

17.1　用其他函數的積分來表示的函數………………………………　321

17.2　微積分的第一基本定理……………　324

17.3　微積分的第二基本定理……………　328

17.4　不定積分……………………………………　329

17.5　怎樣解決問題：微積分的第一基本定理………………………………　331

17.5.1　變形1：變量是積分下限………………………………　332

17.5.2　變形2：積分上限是一個函數………………………　332

17.5.3　變形3：積分上下限都為函數………………………　334

17.5.4　變形4：極限偽裝成導數………………………………　335

17.6　怎樣解決問題：微積分的第二基本定理………………………………　336

17.6.1　計算不定積分………………　336

17.6.2　計算定積分……………………　339

17.6.3　面積和絕對值………………　341

17.7　技術要點……………………………………　344

17.8　微積分第一基本定理的證明……　345

第18　章積分的方法I……………………………　347

18.1　換元法………………………………………　347

18.1.1　換元法和定積分……………　350

18.1.2　如何換元………………………　353

18.1.3　換元法的理論解釋………　355

18.2　分部積分法………………………………　356

18.3　部分分式……………………………………　361

18.3.1　部分分式的代數運算……　361

18.3.2　對每一部分積分……………　365

18.3.3　方法和一個完整的例子………………………………　367

第19　章積分的方法II…………………………　373

19.1　應用三角恆等式的積分……………　373

19.2　關於三角函數的冪的積分………　376

19.2.1　sin或cos的冪……………　376

19.2.2　tan的冪………………………　378

19.2.3　sec的冪…………………………　379

19.2.4　cot的冪…………………………　381

19.2.5　csc的冪…………………………　382

19.2.6　約化公式………………………　382

19.3　關於三角換元法的積分……………　384

19.3.1　類型1：pa2?x2………　384

19.3.2　類型2：px2+a2………　386

19.3.3　類型3：px2?a2………　387

19.3.4　配方和三角換元法………　388

19.3.5　關於三角換元法的總結………………………………　389

19.3.6　平方根的方法和三角換元法……………………………　389

19.4　積分技巧總結……………………………　391

第20　章反常積分：基本概念………………　393

20.1　收斂和發散………………………………　393

20.1.1　反常積分的一些例子……　395

20.1.2　其他破裂點……………………　397

20.2　關於無窮區間上的積分……………　398

20.3　比較判別法(理論)……………………　400

20.4　極限比較判別法(理論)……………　402

20.4.1　函數互為漸近線……………　402

20.4.2　關於判別法的陳述………　404

20.5　p判別法(理論)………………………　405

20.6　絕對收斂判別法………………………　407

第21　章反常積分：如何解題………………　410

21.1　如何開始……………………………………　410

21.1.1　拆分積分………………………　410

21.1.2　如何處理負函數值………　411

21.2　積分判別法總結………………………　413

21.3　常見函數在∞和-∞附近的表現…………………………　414

21.3.1　多項式和多項式型函數在∞和-∞附近的表現………………………　415

21.3.2　三角函數在∞和-∞附近的表現…………　417

21.3.3　指數在∞和-∞附近的表現………………………　419

21.3.4　對數在∞附近的表現………………………………　422

21.4　常見函數在0附近的表現………　426

21.4.1　多項式和多項式型函數在0附近的表現………　426

21.4.2　三角函數在0附近的表現………………………………　427

21.4.3　指數函數在0附近的表現………………………………　429

21.4.4　對數函數在0附近的表現………………………………　430

21.4.5　更一般的函數在0附近的表現………………………　431

21.5　如何應對不在0或1處的瑕點……………………………………　432

第22　章數列和級數：基本概念……………　434

22.1　數列的收斂和發散……………………　434

22.1.1　數列和函數的聯繫………　435

22.1.2　兩個重要數列………………　436

22.2　級數的收斂與發散……………………　438

22.3　第n項判別法(理論)………………　442

22.4　無窮級數和反常積分的性質……　443

22.4.1　比較判別法(理論)………　443

22.4.2　極限比較判別法(理論)……………………………　444

22.4.3　p判別法(理論)……………　444

22.4.4　絕對收斂判別法……………　445

22.5　級數的新判別法………………………　447

22.5.1　比式判別法(理論)………　447

22.5.2　根式判別法(理論)………　449

22.5.3　積分判別法(理論)………　450

22.5.4　交錯級數判別法(理論)……………………………　453

第23　章求解級數問題…………………………　455

23.1　求幾何級數的值………………………　455

23.2　應用第n項判別法…………………　457

23.3　應用比式判別法………………………　457

23.4　應用根式判別法………………………　461

23.5　應用積分判別法………………………　462

23.6　應用比較判別法、極限比較判別法和p判別法……………………　463

23.7　應對含負項的級數……………………　468

第24　章泰勒多項式、泰勒級數和冪級數導論………………………　472

24.1　近似值和泰勒多項式………………　472

24.1.1　重訪線性化……………………　472

24.1.2　二次近似………………………　473

24.1.3　高階近似………………………　474

24.1.4　泰勒定理………………………　475

24.2　冪級數和泰勒級數……………………　478

24.2.1　一般冪級數……………………　479

24.2.2　泰勒級數和麥克勞林級數………………………………　481

24.2.3　泰勒級數的收斂性………　481

24.3　一個有用的極限………………………　485

第25　章求解估算問題…………………………　487

25.1　泰勒多項式與泰勒級數總結……　487

25.2　求泰勒多項式與泰勒級數………　488

25.3　用誤差項估算問題……………………　491

25.3.1　第一個例子……………………　492

25.3.2　第二個例子……………………　494

25.3.3　第三個例子……………………　495

25.3.4　第四個例子……………………　496

25.3.5　第五個例子……………………　497

25.3.6　誤差項估算的一般方法………………………………　499

25.4　誤差估算的另一種方法……………　499

第26　章泰勒級數和冪級數：如何解題…………………………………　502

26.1　冪級數的收斂性………………………　502

26.1.1　收斂半徑………………………　502

26.1.2　求收斂半徑和收斂區域………………………………　504

26.2　合成新的泰勒級數……………………　508

26.2.1　代換和泰勒級數……………　509

26.2.2　泰勒級數求導………………　511

26.2.3　泰勒級數求積分……………　512

26.2.4　泰勒級數相加和相減……　514

26.2.5　泰勒級數相乘………………　515

26.2.6　泰勒級數相除………………　516

26.3　利用冪級數和泰勒級數求導……　517

26.4　利用麥克勞林級數求極限………　519

第27　章參數方程和極坐標…………………　523

27.1　參數方程……………………………………　523

27.2　極坐標………………………………………　528

27.2.1　極坐標與笛卡兒坐標互換………………………………　529

27.2.2　極坐標系中畫曲線………　530

27.2.3　求極坐標曲線的切線……　534

27.2.4　求極坐標曲線圍成的面積………………………………　535

第28　章複數…………………………………………　538

28.1　基礎……………………………………………　538

28.2　複平面………………………………………　541

28.3　複數的高次冪……………………………　544

28.4　解zn=w…………………………………　545

28.5　解ez=w…………………………………　550

28.6　一些三角級數……………………………　552

28.7　歐拉恆等式和冪級數………………　554

第29　章體積、弧長和表面積………………　556

29.1　旋轉體的體積……………………………　556

29.1.1　圓盤法……………………………　557

29.1.2　殼法………………………………　558

29.1.3　總結和變式……………………　560

29.1.4　變式1：區域在曲線和y軸之間…………………　561

29.1.5　變式2：兩曲線間的區域………………………………　562

29.1.6　變式3：繞平行於坐標軸的軸旋轉……………　565

29.2　一般立體體積……………………………　567

29.3　弧長……………………………………………　571

29.4　旋轉體的表面積………………………　574

第30　章微分方程…………………………………　578

30.1　微分方程導論……………………………　578

30.2　可分離變量的一階微分方程……　579

30.3　一階線性方程……………………………　581

30.4　常係數微分方程………………………　585

30.4.1　解一階齊次方程……………　586

30.4.2　解二階齊次方程……………　586

30.4.3　為什麼特徵二次方程適用………………………………　587

30.4.4　非齊次方程和特解………　588

30.4.5　求特解……………………………　589

30.4.6　求特解的例子………………　590

30.4.7　解決yP和yH間的衝突………………………………　592

30.4.8　IVP………………………………　593

30.5　微分方程建模……………………………　595

附錄A　極限及其證明…………………………　598

A.1　極限的正式定義…………………………　598

A.2　由原極限產生新極限…………………　602

A.3　極限的其他情形…………………………　606

A.4　連續與極限…………………………………　611

A.5　再談指數函數和對數函數…………　616

A.6　微分與極限…………………………………　618

A.7　泰勒近似定理的證明…………………　627

附錄B　估算積分…………………………………　629

B.1　使用條紋估算積分……………………　629

B.2　梯形法則……………………………………　632

B.3　辛普森法則…………………………………　634

B.4　近似的誤差…………………………………　636

符號列表…　……………………………………………………　640

索引…　…………………………………………………………　643