隱函數檢視原始碼討論檢視歷史

隱函數,如果方程f(x,y)=0能確定y是x的函數，那麼稱這種方式表示的函數是隱函數。

簡介

隱函數不一定能寫為y=f(x)的形式，如x^2+y^2=1。因此按照函數「設x和y是兩個變量，D是實數集的某個子集，若對於D中的每個值x，變量x按照一定的法則有一個確定的值y與之對應，稱變量y為變量x的函數，記作 y=f(x).」的定義，隱函數不一定是「函數」，而是「方程」。

其實總的說來，函數都是方程，但方程卻不一定是函數。

設方程P(x, y)=0確定y是x的函數, 並且可導. 現在可以利用複合函數求導公式可求出隱函數y對x的導數.

例1 方程 x2+y2-r 2=0確定了一個以x為自變量, 以y為因變量的數, 為了求y對x的導數, 將上式兩邊逐項對x求導, 並將y2看作x的複合函數, 則有

(x2)+ (y2)- (r 2)=0,

即 2x+2yy『=0,

於是得 .

從上例可以看到, 在等式兩邊逐項對自變量求導數, 即可得到一個包含y『的一次方程, 解出y¢, 即為隱函數的導數.

例2 求由方程y2=2px所確定的隱函數y=f(x)的導數.

解: 將方程兩邊同時對x求導, 得

2yy』=2p,

解出y『即得

例3 求由方程y=x ln y所確定的隱函數y=f(x)的導數.

解: 將方程兩邊同時對x求導, 得

y¢=ln y+x× ×y』　解出y『;即得 .

例4 由方程x2+x y+y2=4確定y是x的函數, 求其曲線上點(2, -2)處的切線方程.

解: 將方程兩邊同時對x求導, 得

2x+y+x y』+2y y=0,

解出y『即得

所求切線的斜率為

k=y』 x=2,y=-2=1,

於是所求切線為

y-(-2)=×(x-2), 即y=x-4.^[1]