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| 對數函數 |
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對數函數,一般地，如果a（a大於0，且a不等於1）的b次冪等於N(N>0)，那麼數b叫做以a為底N的對數，記作log aN=b,讀作以a為底N的對數，其中a叫做對數的底數，N叫做真數。一般地，函數y=log(a)X，（其中a是常數，a>0且a不等於1）叫做對數函數，它實際上就是指數函數的反函數，可表示為x=a^y。因此指數函數裡對於a的規定，同樣適用於對數函數。
簡介
真數式子沒根號那就只要求真數式大於零，如果有根號，要求真數大於零還要保證根號里的式子大於零，
底數則要大於0且不為1 。對數函數的底數為什麼要大於0且不為1？ 【在一個普通對數式里 a<0,或=1 的時候是會有相應b的值的。但是，根據對數定義： log以a為底a的對數；如果a=1或=0那麼log以a為底a的對數就可以等於一切實數（比如log1 1也可以等於2，3，4，5，等等）】
通常我們將以10為底的對數叫常用對數（common logarithm),並把log10N記為lgN。另外，在科學技術中常使用以無理數e=2.71828···為底數的對數，以e為底的對數稱為自然對數（natural logarithm)，並且把loge N 記為In N。根據對數的定義，可以得到對數與指數間的關係：
當a 〉0，a≠ 1時，a^X=N→X=logaN。
由指數函數與對數函數的這個關係，可以得到關於對數的如下結論：
在實數範圍內，負數和零沒有對數
loga^a=1 log以a為底a的對數為1(a為常數) 恆過點（1，0）
評價
16世紀末至17世紀初的時候，當時在自然科學領域（特別是天文學）的發展上經常遇到大量精密而又龐大的數值計算，於是數學家們為了尋求化簡的計算方法而發明了對數。
德國的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整數算術》中，寫出了兩個數列，左邊是等比數列（叫原數），右邊是一個等差數列（叫原數的代表，或稱指數，德文是Exponent ，有代表之意）。
欲求左邊任兩數的積（商），只要先求出其代表（指數）的和（差），然後再把這個和（差）對向左邊的一個原數，則此原數即為所求之積（商），可惜史提非並未作進一步探索，沒有引入對數的概念。
納皮爾對數值計算頗有研究。他所製造的「納皮爾算籌」，化簡了乘除法運算，其原理就是用加減來代替乘除法。 他發明對數的動機是為尋求球面三角計算的簡便方法，他依據一種非常獨等的與質點運動有關的設想構造出所謂對數方法，其核心思想表現為算術數列與幾何數列之間的聯繫。在他的1619年發表《奇妙的對數表的描述》中闡明了對數原理，後人稱為 納皮爾對數，記為Nap．㏒x，它與自然對數的關係為：
Nap．㏒x=10㏑(107/x)
由此可知，納皮爾對數既不是自然對數，也不是常用對數，與現今的對數有一定的距離。
瑞士的彪奇（1552-1632）也獨立地發現了對數，可能比納皮爾較早，但發表較遲（1620）。
英國的布里格斯在1624年創造了常用對數。
1619年，倫敦斯彼得所著的《新對數》使對數與自然對數更接近（以e=2.71828...為底）。
對數的發明為當時社會的發展起了重要的影響，簡化了行星軌道運算問題。正如科學家伽利略（1564-1642）說：「給我時間，空間和對數，我可以創造出一個宇宙」。 又如十八世紀數學家拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：「對數用縮短計算的時間來使天文學家的壽命加倍」。
最早傳入我國的對數著作是《比例與對數》，它是由波蘭的穆尼斯（1611-1656）和我國的薛鳳祚在17世紀中葉合 編而成的。當時在lg2=0.3010中，2叫「真數」，0.3010叫做「假數」，真數與假數對列成表，故稱對數表。後來改用 「假數」為「對數」。
我國清代的數學家戴煦（1805-1860）發展了多種求對數的捷法，著有《對數簡法》（1845）、《續對數簡法》（1846）等。1854年，英國的數學家艾約瑟（1825-1905） 看到這些著作後，大為嘆服。
當今中學數學教科書是先講「指數」，後以反函數形式引出「對數」的概念。但在歷史上，恰恰相反，對數概念不是來自指數，因為當時尚無分指數及無理指數的明確概念。布里格斯曾向納皮爾提出用冪指數表示對數的建議。1742年 ，J．威廉（1675-1749）在給G.威廉的《對數表》所寫的前言中作出指數可定義對數。而歐拉在他的名著《無窮小 分析尋論》（1748）中明確提出對數函數是指數函數的逆函數.[1]