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切線

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中文名;切線

外文名;tangent

應用學科;數學

定義;一條剛好觸碰到曲線上某一點的直線

幾何上,切線指的是一條剛好觸碰到曲線上某一點的直線。更準確地說,當切線經過曲線上的某點(即切點)時,切線的方向與曲線上該點的方向是相同的。平面幾何中,將和圓只有一個公共交點的直線叫做圓的切線。[1]

幾何定義

P和Q是曲線C上鄰近的兩點,P是定點,當Q點沿着曲線C無限地接近P點時,割線PQ的極限位置PT叫做曲線C在點P的切線,P點叫做切點;經過切點P並且垂直於切線PT的直線PN叫做曲線C在點P的法線(無限逼近的思想)。

說明:平面幾何中,將和圓只有一個公共交點的直線叫做圓的切線.這種定義不適用於一般的曲線;PT是曲線C在點P的切線,但它和曲線C還有另外一個交點;相反,直線l儘管和曲線C只有一個交點,但它卻不是曲線C的切線。

代數定義

在高等數學中,對於一個函數,如果函數某處有導數,那麼此處的導數就是過此處的切線的斜率,該點和斜率所構成的直線就為該函數的一個切線。

代數幾何定義

設V為由根理想∩V在原點的重數為所有多項式fi(t)=Fi(ta1,...,tan)中t的最低次冪的指數。

若為V上p點的切線。

圓的切線垂直於過其切點的半徑;經過半徑的非圓心一端,並且垂直於這條半徑的直線,就是這個圓的一條切線。

判定定理

一直線若與一圓有交點,且連接交點與圓心的直線與該直線垂直,那麼這條直線就是圓的切線。

一般可用:

1、作垂直證半徑

2、作半徑證垂直

圓的切線垂直於經過切點的半徑。

推論1:經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點。

推論2:經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心

主要性質

(1)切線和圓只有一個公共點;

(2)切線和圓心的距離等於圓的半徑;

(3)切線垂直於經過切點的半徑;

(4)經過圓心垂直於切線的直線必過切點

(5)經過切點垂直於切線的直線必過圓心;

(6)從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

其中(1)是由切線的定義得到的,(2)是由直線和圓的位置關係定理得到的,(6)是由相似三角形推得的,也就是切割線定理。

判定和性質

切線的判定定理: 經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線 。圓的切線垂直於這個圓過切點的半徑。

幾何語言:∵l⊥OA,點A在⊙O上

∴直線l是⊙O的切線(切線判定定理)

切線的性質定理: 圓的切線垂直於經過切點半徑。

幾何語言:∵OA是⊙O的半徑,直線l切⊙O於點A

∴l ⊥OA(切線性質定理

推論1 經過圓心且垂直於切線的直徑必經過切點,

推論2 經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心

切線長定理

定理: 從圓外一點可引出圓的兩條切線,它們的切線長相等,圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

幾何語言:∵弦PB、PD切⊙O於A、C兩點

∴PA=PC,∠APO=∠CPO(切線長定理)

弦切角

弦切角定理: 弦切角等於它所夾的弧對的圓周角

幾何語言:∵∠BCN所夾的是 ,∠A所對的是

∴∠BCN=∠A

推論: 如果兩個弦切角所夾的弧相等,那麼這兩個弦切角也相等。

弦切角概念:頂點在圓上,一邊和圓相交、另一邊和圓相切的角叫做弦切角.它是繼圓心角、圓周角之後第三種與圓有關的角.這種角必須滿足三個條件:

(1)頂點在圓上,即角的頂點是圓的一條切線的切點;

(2)角的一邊和圓相交,即角的一邊是過切點的一條弦所在的射線;

(3)角的另一邊和圓相切,即角的另一邊是切線上以切點為端點的一條射線,它們是判斷一個角是否為弦切角的標準,三者缺一不可;

(4)弦切角可以認為是圓周角的一個特例,即圓周角的一邊繞頂點旋轉到與圓相切時所成的角,正因為如此,弦切角具有與圓周角類似的性質。

弦切角定理:弦切角等於它所夾的弧對的圓周角,它是圓中證明角相等的重要定理之一。

切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

推論:從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等

參考來源

切線的兩種判定方法

參考資料

  1. 切線的性質與判定,快資訊 , 2021-12-18