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量子力學里,量子系統的量子態可以用波函數英語:wave function)來描述。薛丁格方程式設定波函數如何隨著時間流逝而演化。從數學角度來看,薛丁格方程式乃是一種波動方程式,因此,波函數具有類似波的性質。這說明了波函數這術語的命名原因。

波函數 <math>\Psi (\mathbf{r},t)</math> 是一種複值函數,表示粒子在位置 <math>\mathbf{r}</math> 、時間 <math>t</math> 的機率幅,它的絕對值平方 <math>|\Psi(\mathbf{r},t)|^2</math> 是在位置 <math>\mathbf{r}</math> 、時間 <math>t</math> 找到粒子的機率密度。以另一種角度詮釋,波函數<math>\Psi (\mathbf{r},t)</math>是「在某時間、某位置發生相互作用的概率幅」。[1]

波函數的概念在量子力學裡非常基礎與重要,諸多關於量子力學詮釋像謎一樣之結果與困惑,都源自于波函數,甚至今天,這些論題仍舊尚未獲得滿意解答。

目錄

歷史

在1920年代與1930年代,理論量子物理學者大致分為兩個陣營。第一個陣營的成員主要為路易·德布羅意埃爾溫·薛丁格等等,他們使用的數學工具是微積分,他們共同創建了波動力學。第二個陣營的成員主要為維爾納·海森堡馬克斯·玻恩等等,使用線性代數,他們建立了矩陣力學。後來,薛丁格證明這兩種方法完全等價。[2]:606–609

德布羅意於1924年提出的德布羅意假說表明,每一種微觀粒子都具有波粒二象性電子也不例外,具有這種性質。電子是一種波動,是電子波。電子的能量與動量分別決定了它的物質波頻率與波數。既然粒子具有波粒二象性,應該會有一種能夠正確描述這種量子特性的波動方程式,這點子給予埃爾溫·薛定諤極大的啟示,他因此開始尋找這波動方程式。薛定諤參考威廉·哈密頓先前關於牛頓力學光學之間的類比這方面的研究,在其中隱藏了一個奧妙的發現,即在零波長極限,物理光學趨向於幾何光學;也就是說,光波的軌道趨向於明確的路徑,而這路徑遵守最小作用量原理。哈密頓認為,在零波長極限,波傳播趨向於明確的運動,但他並沒有給出一個具體方程式來描述這波動行為,而薛定諤給出了這方程式。他從哈密頓-雅可比方程成功地推導出薛定諤方程式。[3]:207他又用自己設計的方程式來計算氫原子譜線,得到的答案與用波耳模型計算出的答案相同。他將這波動方程式與氫原子光譜分析結果,寫為一篇論文,1926年,正式發表於物理學界[4][5]:163-167。從此,量子力學有了一個嶄新的理論平台。

薛丁格給出的薛定諤方程式能夠正確地描述波函數的量子行為。那時,物理學者尚未能解釋波函數的涵義,薛定諤嘗試用波函數來代表電荷的密度,但遭到失敗。1926年,玻恩提出機率幅的概念,成功地解釋了波函數的物理意義[3]:219-220。可是,薛定諤本人不贊同這種統計機率方法,和它所伴隨的非連續性波函數塌縮,如同愛因斯坦認為量子力學只是個決定性理論的統計近似,薛定諤永遠無法接受哥本哈根詮釋。在他有生最後一年,他寫給玻恩的一封信內,薛定諤清楚地表明了這意見。[3]:479

1927年,道格拉斯·哈特里(Douglas Hartree)與弗拉基米爾·福克(Vladimir Fock)在對於多體波函數的研究踏出了第一步,他們發展出哈特里-福克方程來近似方程的解。這計算方法最先由哈特里提出,後來福克將之加以改善,能夠符合包立不相容原理的要求。[6]:344-345

薛定諤方程式不具有勞侖茲不變性 ,無法淮確給出符合相對論的結果。薛定諤試著用相對論的能量動量關係式,來尋找一個相對論性方程式,並且描述電子的相對論性量子行為。但是這方程式給出的精細結構不符合阿諾·索末菲的結果,又會給出違背量子力學的負機率和怪異的負能量現象,他只好將這相對論性部分暫時擱置一旁,先行發表前面提到的非相對論性部分。[3]:196-197[7]:3

1926年,奧斯卡·克萊因(Oskar Klein)和沃爾特·戈爾登(Walter Gordon)將電磁相對作用納入考量,獨立地給出薛定諤先前推導出的相對論性部分,並且證明其具有勞侖茲不變性。這方程式後來稱為克萊因-戈爾登方程式[7]:3

1928年,保羅·狄拉克最先成功地統一了狹義相對論與量子力學,他推導出狄拉克方程式,適用於電子等等自旋為1/2的粒子。這方程式的波函數是一個旋量,擁有自旋性質。[5]:167

位置空間波函數

假設一個自旋為零的粒子移動於一維空間。這粒子的量子態以波函數表示為 <math>\Psi(x,t)</math> ;其中,<math>x</math> 是位置,<math>t</math> 是時間。波函數是複值函數。測量粒子位置所得到的結果不是決定性的,而是機率性的。粒子的位置 <math>x</math> 在區間 <math>[a,b]</math> (即 <math>a\le x\le b</math> )的機率<math>P_{a\le x\le b}</math>為

<math>P_{a\le x\le b} = \int\limits_a^b \,|\Psi(x,t)|^2 \mathrm{d} x</math> ;

其中,<math>t</math> 是對於粒子位置做測量的時間。

換句話說,<math>|\Psi(x,t)|^2</math> 是粒子在位置 <math>x</math> 、時間 <math>t</math> 的機率密度。

這導致歸一化條件:在位置空間的任意位置找到粒子的機率為100%:

<math>\int\limits_{-\infty}^\infty \, |\Psi(x,t)|^2 \mathrm{d}x = 1</math> 。

動量空間波函數

在動量空間,粒子的波函數表示為 <math>\Phi(p,t)</math> ;其中,<math>p</math> 是一維動量,值域從 <math>-\infty</math> 至 <math>+\infty</math> 。測量粒子動量所得到的結果不是決定性的,而是機率性的。粒子的動量 <math>p</math> 在區間 <math>[a,b]</math> (即 <math>a\le p\le b</math> )的機率為

<math>P_{a\le p\le b} = \int\limits_a^b \,|\Phi(p,t)|^2 \mathrm{d}p</math> 。

動量空間波函數的歸一化條件也類似:

<math> \int\limits_{-\infty}^{\infty} \, \left | \Phi ( p, t ) \right |^2 \mathrm{d}p = 1</math> 。

兩種波函數之間的關係

位置空間波函數與動量空間波函數彼此是對方的傅立葉變換。他們各自擁有的信息相同,任何一種波函數都可以用來計算粒子的相關性質。兩種波函數之間的關係為[8]:108

<math>\Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\limits_{-\infty}^\infty \, e^{-ipx/\hbar} \Psi(x,t) \mathrm{d}x</math> 、
<math>\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\limits_{-\infty}^\infty \, e^{ipx/\hbar} \Phi(p,t) \mathrm{d}p</math> 。

薛丁格方程式

在一維空間裡,運動於位勢 <math>V(x)</math> 的單獨粒子,其波函數滿足含時薛丁格方程式

<math> - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t)+V(x)\Psi(x,t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)</math> ;

其中,<math>m</math> 是質量,<math>\hbar</math> 是約化普朗克常數

不含時薛丁格方程式與時間無關,可以用來計算粒子的本徵能量與其它相關的量子性質。應用分離變數法,猜想 <math>\Psi(x,\,t)</math> 的函數形式為

<math>\Psi(x,\,t)= \psi_E(x) e^{ - iEt/\hbar}</math> ;

其中,<math>E</math> 是分離常數,稍加推導可以論定 <math>E</math> 就是能量,<math>\psi_E(x)</math> 是對應於 <math>E</math> 的本徵函數

代入這猜想解,經過一番運算,可以推導出一維不含時薛丁格方程式:

<math> - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi_E(x)+V(x)\psi_E(x)=E\psi_E(x) </math> 。

波函數的概率詮釋

波函數 <math>\Psi (\mathbf{r},t)</math> 是概率波。其模的平方 <math>\vert\Psi (\mathbf{r},t)\vert^2\,</math> 代表粒子在該處出現的概率密度,並且具有歸一性,全空間的積分

<math>\int\vert\Psi (\mathbf{r},t)\vert^2\,d^3\,x=1</math> 。

波函數的另一個重要特性是相干性。兩個波函數迭加,概率的大小取決於兩個波函數的相位差,類似光學中的楊氏雙縫實驗

波函數的本徵值和本徵態

在量子力學中,可觀察量 <math>A</math> 以算符 <math>\hat{A}</math> 的形式出現。<math>\hat{A}</math> 代表對于波函數的一種運算。例如,在位置空間裡,動量算符 <math>\hat{\mathbf{p}}</math> 的形式為

<math>\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla</math> 。

可觀察量 <math>A</math> 的本徵方程式為

<math>\hat{A}\psi=a\psi</math> 。

對應的 <math>a</math> 稱為算符 <math>\hat{A}</math> 的本徵值,<math>\psi</math> 稱為算符 <math>\hat{A}</math> 的本徵態。假設對於 <math>\hat{A}</math> 的本徵態 <math>\psi</math> 再測量可觀察量 <math>A</math> ,則得到的結果是本徵值 <math>a</math> 。

態迭加原理

假設對於某量子系統測量可觀察量 <math>A</math> ,而可觀察量 <math>A</math> 的本徵態 <math>|a_1\rang</math> 、<math>|a_2\rang</math> 分別擁有本徵值 <math>a_1</math> 、<math>a_2</math> ,則根據薛定諤方程線性關係,疊加態 <math>|\psi\rang</math> 也可以是這量子系統的量子態:

<math>|\psi\rang=c_{1}|a_1\rang+c_{2}|a_2\rang</math> ;

其中, <math>c_1</math> 、<math>c_2</math> 分別為疊加態處於本徵態 <math>|a_1\rang</math> 、<math>|a_2\rang</math> 的機率幅

假設對這疊加態系統測量可觀察量 <math>A</math> ,則測量獲得數值是 <math>a_{1}</math> 或 <math>a_{2}</math> 的機率分別為 <math>|c_{1}|^2</math> 、<math>|c_{2}|^2</math> ,期望值

<math>\langle\psi |A|\psi\rang=|c_{1}|^2 a_1 +|c_{2}|^2 a_2</math> 。

定態

量子力學中,一類基本的問題是哈密頓算符 <math>\hat{H}</math> 不含時間的情況。對於這問題,應用分離變數法,可以將波函數 <math>\Psi (\mathbf{r},t)</math> 分離成一個只與位置有關的函數 <math>\psi (\mathbf{r})</math> 和一個只與時間有關的函數 <math>f(t)</math> :

<math>\Psi (\mathbf{r},t)=\psi (\mathbf{r})f(t)</math> 。

將這公式代入薛定諤方程,就會得到

<math>f(t)=\exp{(-iEt/\hbar )}</math> 。

而 <math>\psi(\mathbf{r})</math> 則滿足本徵能量薛丁格方程式

<math>\hat{H}\psi(\mathbf{r})=E\psi(\mathbf{r})</math> 。

例子

自由粒子

3D空間中的自由粒子,其波矢k角頻率ω,其波函數為:

<math>\Psi (\mathbf{r},t) = A e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}\,.</math>

無限深方形阱

粒子被限制在x = 0和x L之間的1D空間中,其波函數為:[8]:30-38

<math>\begin{align}

\Psi (x,t) & = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-i\omega_n t}, & \quad 0 \leq x \leq L \\ \Psi (x,t) & = 0, & x < 0, x > L \\ \end{align} </math>

其中,<math>\hbar\omega_n=\frac{n^2 h^2}{8mL^2}</math>是能量本徵值,<math>n</math>是正整數,<math>m</math>是質量。

有限位勢壘

在1D情況下,粒子處於如下勢壘中:

<math>V(x)=\begin{cases}V_0 & |x|<a \\ 0 & \text{otherwise,}\end{cases}</math>

其波函數的定態解為(<math>k, \kappa</math>為常數)

<math>\psi (x) = \begin{cases}

A_{\mathrm{r}}\exp(ikx)+A_{\mathrm{l}}\exp(-ikx) & x<-a, \\ B_{\mathrm{r}}\exp(\kappa x)+B_{\mathrm{l}}\exp(-\kappa x) & |x|\le a, \\ C_{\mathrm{r}}\exp(ikx)+C_{\mathrm{l}}\exp(-ikx) & x>a. \end{cases} </math>

量子點

量子點是在把激子在三個空間方向上束縛住的半導體納米結構。粒子在三個方向上都處在勢阱中。勢阱可以由於靜電勢(由外部的電極,摻雜,應變,雜質產生),兩種不同半導體材料的界面(例如:在自組量子點中),半導體的表面(例如:半導體納米晶體),或者以上三者的結合。量子點具有分離的量子化的能譜。所對應的波函數在空間上位於量子點中,但延伸於數個晶格周期中。其中的能級可以用類似無限深方形阱的模型來描述,能級位置取決於勢阱寬度。


參考文獻

  1. Hobson, Art. There are no particles, there are only fields. American Journal of Physics. 2013, 81 (211). doi:10.1119/1.4789885. 
  2. Hanle, P.A., Erwin Schrodinger's Reaction to Louis de Broglie's Thesis on the Quantum Theory., Isis, December 1977, 68 (4), doi:10.1086/351880 
  3. 3.0 3.1 3.2 3.3 Moore, Walter John, Schrödinger: Life and Thought, England: Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43767-9 (英語) 
  4. 薛定諤, 埃爾溫, Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen (PDF) 79, Annalen der Physik, (Leipzig), 1926  [德文原稿]
  5. 5.0 5.1 Kragh, Helge. Quantum Generations: A History of Physics in the Twentieth Century illustrated, reprint. Princeton University Press. 2002. ISBN 9780691095523. 
  6. Atkins, Peter; de Paula, Julio. Physical Chemistry 8th. W. H. Freeman. 2006. ISBN 978-0716787594. 
  7. 7.0 7.1 McMahon, David. Quantum Field Theory Demystified. McGraw Hill Professional. 2008. ISBN 9780071643528. 
  8. 8.0 8.1 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 

參閱