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分形幾何學原圖鏈接來自 中國網 的圖片

分形（英語：fractal，源自拉丁語：frāctus，有「零碎」、「破裂」之意），又稱碎形、殘形，通常被定義為「一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小後的形狀」，即具有自相似的性質。分形在數學中是一種抽象的物體，用於描述自然界中存在的事物。人工分形通常在放大後能展現出相似的形狀。分形也被稱為擴展對稱或展開對稱。如果在每次放大後，形狀的重複是完全相同的，這被稱為自相似。自相似的一個例子是門格海綿。分形在不同的縮放級別上可以是近似相似的。曼德博集合的放大圖像中顯示了這種模式。分形也包有圖像的細節重複自身的意味。

分形與其他幾何圖形相似但又有所不同。當你縮放一個圖形時，你就能看出分形和其他幾何圖形的區別。將一個多邊形的邊長加倍，它的面積變為原來的四倍。

簡介

要做出科赫雪花，將正三角形每邊中央三分之一的線段以一對同長的線段取代，形成一個等腰的「凸角」。再對上一步驟所形成的每一邊做同樣的動作。每一次迭代，總長度增加三分之一。科赫雪花即是無限次迭代的結果，有無限長的周長，但其面積還是有限的。因此，科赫雪花和其他相似構造有時會被稱為「怪獸曲線」。

和數學家們相比，分形一詞對大眾來說含義不盡相同。相對於數學概念來說，大眾可能更熟悉分形藝術。即使是對數學家來說分形也很難定義，但只要一點點數學背景就可以理解分形的核心特徵。

分形的「自我相似」的特徵很容易通過類比來理解，就像用鏡頭或其他設備放大數字圖像，從而發現以前不可見的、更精細的新結構。如果你放大一個分形的圖像，則不會出現新的細節；圖像沒什麼變化，相似的圖案一遍又一遍的重複出現。對於有些分形幾乎完全一樣的圖像會不斷地重複。自我相似的特徵並非反直覺的。人們在生活中也能看到自我相似的現象，例如：兩面平行的鏡子間的無限重複、山上廟裡老和尚的故事裡的山...分形的不同之處在於重複的圖案一定有詳細的細節。

細節性的概念和分形的另一個特徵——分形維數有關。分形維數不需要數學背景，也很容易理解：分形的分形維數大於它的拓撲維數，通過將分形尺度與普通的幾何形狀相比較，我們便能感受到他們的差別。舉個例子，通常認為直線是是一維的，如果直線被分為三部分，每部分都是原來的 1/3 長，你會得到相等的三部分。相比之下，科赫雪花的拓撲維數是 1，和普通的直線一樣，但它的分形維數大於1，因為它有很多的細節。雪花曲線被分為原長的 1/3，得到的是4條原始雪花曲線重組組合的結果。這種與眾不同的關係是分形維數的基礎。

這也引出了第三個特徵：分形在數學上是處處不可微的。具體的說，這意味着分形不能用傳統的方法測量。測量非分型曲線，如波浪曲線的長度，只要放大到足夠大，總能用直線擬合一小段曲線，然後就能用捲尺測量這段直線的長度，再將各段直線長度相加，就可以得出波浪的長度。這樣做實質上是把曲線看作數學上的函數，在一小段範圍內取一階泰勒展開，近似為直線，然後求和總長度。但分型曲線是處處不可微的，如果嘗試使用直線去擬合分形曲線，如科赫雪花曲線，縮放的過程永遠不會停止，因為曲線圖案的重複模式總會不斷地出現，每次縮放，都需要使用更小的捲尺來貼合曲線。

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