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面积(英语:Area),物体的表面或围成的图形表面的大小,叫做它们的面积。可看成是长度(一维度量)及体积(三维度量)的二维类比。对三维立体图形而言,图形的边界的面积称为表面积。 计算各基本平面图形面积及基本立体图形的表面积公式早已为古希腊及古中国人所熟知。

面积在近代数学中占相当重要的角色。面积除与几何学及微积分有关外,亦与线性代数中的行列式[1]有关。在分析学中,平面的面积通常以勒贝格测度(Lebesgue measure)定义。

面积计算方法

长方形:S=ab {长×宽}

正方形:S=a^2 {边长×边长}

平行四边形:S=ab {底×高}

三角形:S=ab÷2 {底×高÷2}

梯形:S=(a+b)×h÷2 {(上底+下底)×高÷2}

圆形(正圆):S=πr^2 {圆周率×半径×半径}

圆环:S=(R^2-r^2)×π {圆周率×(外环半径-内环半径)}

扇形:S=πr^2×n/360 {圆周率×半径×半径×扇形角度/360}

长方体表面积:S=2(ab+ac+bc) {(长×宽+长×高+宽×高)×2}

正方体表面积:S=6a^2 {棱长×棱长×6}

球体(正球)表面积:S=4πr^2 {圆周率×半径×半径×4}

椭圆S=π(圆周率)×a×b (a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长)

复杂图形计算方法

一、相加法

这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形,分别计算它们的面积,然后相加求出整个图形的面积[2]

例如:求下图整个图形的面积

面积文字图1.jpg

一句话:半圆的面积+正方形的面积=总面积

二、相减法

面积文字图2.jpg

正方形面积减去圆的面积即可。

三、直接求法

这种方法是根据已知条件,从整体出发直接求出不规则图形面积。

面积文字图3.jpg

一句话:通过分析发现阴影部分就是一个底是2、高是4的三角形。

四、重新组合法

这种方法是将不规则图形拆开,根据具体情况和计算上的需要,重新组合成一个新的图形,设法求出这个新图形面积即可。

面积文字图4.jpg

一句话:拆开图形,使阴影部分分布在正方形的4个角处,如下图。

面积文字图5.jpg

五、辅助线法

这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线,使不规则图形转化成若干个基本规则图形,然后再采用相加、相减法解决即可

例如:下图,求两个正方形中阴影部分的面积。

面积文字图7.png

一句话:此题虽然可以用相减法解决,但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便(如下图)。

面积文字图6.jpg

根据梯形两侧三角形面积相等原理(蝴蝶定理),可用三角形丁的面积替换丙的面积,组成一个大三角ABE,这样整个阴影部分面积恰是大正方形面积的一半。

这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形,从而使问题得到解决。

面积文字图71.jpg

一句话:把右边弓形切割下来补在左边,这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半。

七、平移法

这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置,使之组合成一个新的基本规则图形,便于求出面积。

面积文字图8.jpg

一句话:可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内,这样整个阴影部分恰是一个正方形。

八、旋转法

这种方法是将图形中某一部分切割下来之后,使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧,从而组合成一个新的基本规则的图形,便于求出面积。

例 如图(1),求阴影部分的面积。

面积文字图9.jpg

左半图形绕B点逆时针方向旋转180°,使A与C重合,从而构成右图(2)的样子,此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.

面积文字图10.jpg

这种方法是作出原图形的对称图形,从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半。

面积文字图11.jpg

一句话:沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD。弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。

面积文字图12.jpg

这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分。

面积文字图13.jpg

一句话:可先求两个扇形面积的和,减去正方形面积,因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分。

视频

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《认识面积》——微课堂
面积和面积单位

参考文献

  1. 将线性代数形象化(三) · 行列式,知乎专栏,2018-2-9
  2. 图形面积、体积计算公式大全,道客巴巴, 2014-3-3