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拓撲

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拓撲學的英文名是Topology,直譯是地誌學,也就是和研究地形、地貌相類似的有關學科。中國早期曾經翻譯成「形勢幾何學」、「連續幾何學」、「一對一的連續變換群下的幾何學」,但是,這幾種譯名都不大好理解,1956年統一的《數學名詞》把它確定為拓撲學,這是按音譯過來的。

拓撲學是幾何學的一個分支,但是這種幾何學又和通常的平面幾何、立體幾何不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的對象是點、線、面之間的位置關係以及它們的度量性質。拓撲學對於研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質和數量關係都無關。

舉例來說,在通常的平面幾何里,把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上,如果完全重合,那麼這兩個圖形叫做全等形。但是,在拓撲學裡所研究的圖形,在運動中無論它的大小或者形狀都發生變化。在拓撲學裡沒有不能彎曲的元素,每一個圖形的大小、形狀都可以改變。例如,前面講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時候,他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀,僅考慮點和線的個數。拓撲謎題——剪刀、紐扣和繩結

簡介

如果有重疊且共享相同坐標位置、邊界或節點的要素,則地理數據庫拓撲可幫助更好地管理地理數據

地理數據庫拓撲幫助您確保數據完整性。拓撲的使用提供了一種對數據執行完整性檢查的機制,幫助您在地理數據庫中驗證和保持更好的要素表示。

此外,還可以使用拓撲為要素之間的多種空間關係建模。這為多種分析操作(如查找相鄰要素、處理要素之間的重疊邊界以及沿連接要素進行導航)提供了支持。

拓撲關係

拓撲是點、線和多邊形要素共享幾何的方式的排列布置。拓撲用於以下操作:

限制要素共享幾何的方式。例如,相鄰多邊形(如宗地)具有共享邊、街道中心線和人口普查區塊共享幾何以及相鄰的土壤多邊形共享邊。 定義並執行數據完整性規則:多邊形之間不應存在任何間距、不應有任何疊置要素等。 支持拓撲關係查詢和導航,如確定要素鄰接性和連通性。 支持可強制執行數據模型拓撲約束的複雜編輯工具。 根據非結構化的幾何構造要素,如根據線創建多邊形。 根據現有數據構建拓撲的過程可總結為以下步驟:

設計拓撲。 在地理數據庫中的公用要素數據集內創建一組要素類。 如果已經有要素數據,將這些數據加載到要素類中。 使用 ArcCatalog 或地理處理工具創建拓撲。 構建和驗證拓撲。 將拓撲添加到 ArcMap 並設置其顯示屬性。 使用編輯環境來識別和修復錯誤。 管理要素類更新和髒區。 管理版本化地理數據庫內的拓撲。 執行多個其他一般編輯任務。

評價

拓撲的中心任務是研究拓撲性質中的不變性。

拓撲性質有那些呢?首先我們介紹拓撲等價,這是比較容易理解的一個拓撲性質。

在拓撲學裡不討論兩個圖形全等的概念,但是討論拓撲等價的概念。比如,儘管圓和方形、三角形的形狀、大小不同,在拓撲變換下,它們都是等價圖形。在一個球面上任選一些點用不相交的線把它們連接起來,這樣球面就被這些線分成許多塊。在拓撲變換下,點、線、塊的數目仍和原來的數目一樣,這就是拓撲等價。一般地說,對於任意形狀的閉曲面,只要不把曲面撕裂或割破,他的變換就是拓撲變換,就存在拓撲等價。

應該指出,環面不具有這個性質。設想,把環面切開,它不至於分成許多塊,只是變成一個彎曲的圓桶形,對於這種情況,我們就說球面不能拓撲的變成環面。所以球面和環面在拓撲學中是不同的曲面。

直線上的點和線的結合關係、順序關係,在拓撲變換下不變,這是拓撲性質。在拓撲學中曲線和曲面的閉合性質也是拓撲性質。

我們通常講的平面、曲面通常有兩個面,就像一張紙有兩個面一樣。但德國數學家莫比烏斯(1790~1868)在1858年發現了莫比烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顏色來塗滿兩個側面。[1]

參考文獻

  1. 拓撲搜狗