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切线

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中文名;切线

外文名;tangent

应用学科;数学

定义;一条刚好触碰到曲线上某一点的直线

几何上,切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准确地说,当切线经过曲线上的某点(即切点)时,切线的方向与曲线上该点的方向是相同的。平面几何中,将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。[1]

几何定义

P和Q是曲线C上邻近的两点,P是定点,当Q点沿着曲线C无限地接近P点时,割线PQ的极限位置PT叫做曲线C在点P的切线,P点叫做切点;经过切点P并且垂直于切线PT的直线PN叫做曲线C在点P的法线(无限逼近的思想)。

说明:平面几何中,将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线.这种定义不适用于一般的曲线;PT是曲线C在点P的切线,但它和曲线C还有另外一个交点;相反,直线l尽管和曲线C只有一个交点,但它却不是曲线C的切线。

代数定义

在高等数学中,对于一个函数,如果函数某处有导数,那么此处的导数就是过此处的切线的斜率,该点和斜率所构成的直线就为该函数的一个切线。

代数几何定义

设V为由根理想∩V在原点的重数为所有多项式fi(t)=Fi(ta1,...,tan)中t的最低次幂的指数。

若为V上p点的切线。

圆的切线垂直于过其切点的半径;经过半径的非圆心一端,并且垂直于这条半径的直线,就是这个圆的一条切线。

判定定理

一直线若与一圆有交点,且连接交点与圆心的直线与该直线垂直,那么这条直线就是圆的切线。

一般可用:

1、作垂直证半径

2、作半径证垂直

圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

主要性质

(1)切线和圆只有一个公共点;

(2)切线和圆心的距离等于圆的半径;

(3)切线垂直于经过切点的半径;

(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点

(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心;

(6)从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

其中(1)是由切线的定义得到的,(2)是由直线和圆的位置关系定理得到的,(6)是由相似三角形推得的,也就是切割线定理。

判定和性质

切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 。圆的切线垂直于这个圆过切点的半径。

几何语言:∵l⊥OA,点A在⊙O上

∴直线l是⊙O的切线(切线判定定理)

切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点半径。

几何语言:∵OA是⊙O的半径,直线l切⊙O于点A

∴l ⊥OA(切线性质定理

推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点,

推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线长定理

定理: 从圆外一点可引出圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

几何语言:∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点

∴PA=PC,∠APO=∠CPO(切线长定理)

弦切角

弦切角定理: 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

几何语言:∵∠BCN所夹的是 ,∠A所对的是

∴∠BCN=∠A

推论: 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等。

弦切角概念:顶点在圆上,一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角.它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角.这种角必须满足三个条件:

(1)顶点在圆上,即角的顶点是圆的一条切线的切点;

(2)角的一边和圆相交,即角的一边是过切点的一条弦所在的射线;

(3)角的另一边和圆相切,即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线,它们是判断一个角是否为弦切角的标准,三者缺一不可;

(4)弦切角可以认为是圆周角的一个特例,即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角,正因为如此,弦切角具有与圆周角类似的性质。

弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角,它是圆中证明角相等的重要定理之一。

切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

参考来源

切线的两种判定方法

参考资料

  1. 切线的性质与判定,快资讯 , 2021-12-18