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算術英語:arithmetic)是數學最古老且最簡單的一個分支,幾乎被每個人使用着,從日常生活上簡單的算數到高深的科學及工商業計算都會用到。一般而言,算術這一詞指的是記錄數字某些運算基本性質的數學分支。常用的運算有加法、減法、乘法、除法,有時候,更複雜的運算如指數和平方根,也包括在算術運算的範疇內。算術運算要按照特定規則來進行。

自然數、整數、有理數(以分數的形式)和實數(以十進制指數的形式)的運算主要是在小學和中學的時候學習。用百分比形式進行運算也主要是在這個時候學習。然而,在成人中,很多人使用計算器,計算機或者算盤來進行數學計算。

專業數學家有時會使用高等算術來指數論,但這不應該和初等算術相搞混。另外,算術也是初等代數[1]的重要部分之一。

十進制計數法

基數(前十個非負整數0,1,2,……,9)的基礎上構建所有實數。一個十進制數由一個基數序列組成,每一位數字的命名取決於其相對於小數點的位置。例如:517.36表示5個100(102),加1個10(101),加7個最小整數單位1(100),加3個0.1(10-1),加6個0.01(10-2)。該計數法的一個要點(也是其實現的難點)是對0與其它基數一視同仁[2]

算術運算

算術運算指加法、減法、乘法和除法,但有時也包括較高級的運算(例如百分比、平方根、取冪和對數)。算術按運算次序進行,只要集合可以進行加減乘除四則運算(除以零除外),而四則運算合乎基本公理,都可稱之為一個域(Field)。

加法 (+)

加法是基本算術運算。簡單來說,加法將兩個數字結合,成為一個數字,稱之為「和」。把多於兩個數相加,可以視為重複的加法;這個過程稱為求和,包括在級數中把無窮多個數相加。1的重複加法是計數的最基本的形式。

加法滿足交換律和結合律。加法的單位元是0,也就是說,把任何數加上0都得到相同的數。另外,加法的逆元素就是相反數,也就是說,把任何數加上它的相反數都得出單位元0。例如,7的相反數是(-7),所以7 + (-7) = 0。

減法 (−)

減法是加法的逆運算。減法是求出兩個數(被減數和減數)的差。如果被減數大於減數,那麼差為正數;如果被減數小於減數,那麼差為負數;如果它們相等,那麼差為0。

減法既不滿足交換律又不滿足結合律。由於這個原因,把減法視為被減數和減數的相反數的加法通常是很有幫助的,也就是說,a− b = a + (−b)。當寫成加法時,所有加法的性質都成立。

乘法 (× 或 ·)

乘法本質上是一組相同數字的重複累加或總和。乘法運算可得出乘數與被乘數(有時被通稱為因數)的乘積。

乘法運算(由於其本質是重複累加)具有交換性和結合性;進而,它對加法和減法運算具有分配性。乘法單位為1,即,用1乘以任意數的結果仍為該數。並且,任意數字的乘法逆元素是其倒數,即,用一個數的倒數乘以該數,其結果為乘法單位:1。

除法 (÷ 或 /)

除法是乘法的逆運算。除法運算得到兩個數的商=被除數除以除數。任何被除數被零除是沒有定義的。對於正數,如果被除數大於除數,其商大於1,否則商小於1(對於負數和-1有類似的規則)。商乘以除數其結果總是被除數。

除法運算不具有交換性和結合性。正如可以將減法視為加法,除法亦可被視作被除數和除數的倒數之間的乘法運算,即,a ÷ b = a × 1⁄b 。當被寫為乘積形式,運算遵循乘法的所有特性。

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參考文獻