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| 基數 | |
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基數，在數學上，是集合論中刻畫任意集合大小的一個概念。兩個能夠建立元素間一一對應的集合稱為互相對等集合。例如3個人的集合和3匹馬的集合可以建立一一對應，是兩個對等的集合。
概念
根據對等這種關係對集合進行分類，凡是互相對等的集合就劃入同一類。這樣，每一個集合都被劃入了某一類。任意一個集合A所屬的類就稱為集合A的基數，記作|A|（或cardA)。這樣，當A 與B同屬一個類時，A與B 就有相同的基數，即|A|=|B|。而當 A與B不同屬一個類時，它們的基數也不同。
如果把單元素集的基數記作1，兩個元素的集合的基數記作2，等等，則任一個有限集的基數就與通常意義下的自然數一致 。空集的基數也記作0。於是有限集的基數也就是傳統概念下的「個數」。但是，對於無窮集，傳統概念沒有個數，而按基數概念，無窮集也有基數，例如，任一可數集（也稱可列集）與自然數集N有相同的基數，即所有可數集是等基數集。不但如此，還可以證明實數集R與可數集的基數不同。所以集合的基數是個數概念的推廣。[1]
基數可以比較大小。假設A，B的基數分別是a，β，即|A|=a，|B|=β，如果A與B的某個子集對等，就稱 A 的基數不大於B的基數，記作a≤β，或β≥a。如果 a≤ β，但a≠β（ 即A與B不對等 ），就稱A的基數小於B的基數，記作a<β，或β>a。在承認選擇公理的情況下，可以證明基數的三歧性定理——任何兩個集合的基數都可以比較大小，即不存在集合A和B，使得A不能與B的任何子集對等，B也不能與A的任何子集對等。
基數可以進行運算 。設|A|=a ，|B|=β，定義 a+β=|{(a,0):a ∈ A} ∪ {(b,1):b ∈ B}|。另，a與β的積規定為|AxB|，A×B為A與B的笛卡兒積。
基數算術
我們可在基數上定義若干算術運算，這是對自然數運算的推廣。給定集合 X 與 Y，定義 X+Y={(x,0):x ∈ X} ∪ {(y,1):y ∈ Y}，則基數和是|X| + |Y| = |X + Y|。 若 X 與 Y 不相交，則 |X| + |Y| = |X ∪ Y|。基數積是|X||Y| = |X × Y|，其中 X × Y 是 X 和 Y 的笛卡兒積。基數指數是|X|^|Y| = |X^Y|，其中 X^Y 是所有由 Y 到 X 的函數的集合。
普通性質
在有限集時，這些運算與自然數無異。一般地，它們亦有普通算術運算的特質：
加法和乘法是可交換的，即 |X|+|Y|=|Y|+|X| 及 |X||Y|=|Y||X|。
加法和乘法符合結合律，(|X|+|Y|)+|Z|=|X|+(|Y|+|Z|) 及 (|X||Y|)|Z|=|X|(|Y||Z|)
分配律，即 (|X|+|Y|)|Z|=|X||Z|+|Y||Z|| = |X||Y|+|X||Z|。[2]
無窮集合的加法及乘法（假設選擇公理）非常簡單。若 X 與 Y 皆非空而其中之一為無限集，則|X| + |Y| = |X||Y| = max{|X|, |Y|}.
記 2 ^ | X | 是 X 的冪集之基數。由對角論證法可知 2 ^ | X | > | X |，是以並不存在最大的基數。事實上，基數的類是真類。
其他性質
還有些關於指數的有趣性質：
|X|^0 = 1 (很奇怪地 0^0 = 1)。
0^|Y| = 0 若 Y 非空。
1^|Y| = 1。
|X| ≤ |Y| 則 |X||Z| ≤ |Y||Z|。
若 |X| 和 |Y| 均為有限集且大於 1，而 Z 是無窮集，則 |X||Z| = |Y||Z|。
若 X 是無窮集而 Y 是非空的有限集，則 |X||Y| = |X|。
基數序列
對每一個基數，存在一個最小比它大的基數。這在自然數當然是對的。自然數集的基數是，康托爾稱下一個是
，相類似的，還定義了如下一個序列：
注意。連續統假設猜想，就是。連續統假設是與一般集論公理（即Zermelo-Fraenkel 公理系統加上選擇公理）獨立的。
更一般的假設，即。廣義連續統假設，就是對所有無窮基數，都不存在界乎與
之間的基數。