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算术英语:arithmetic)是数学最古老且最简单的一个分支,几乎被每个人使用着,从日常生活上简单的算数到高深的科学及工商业计算都会用到。一般而言,算术这一词指的是记录数字某些运算基本性质的数学分支。常用的运算有加法、减法、乘法、除法,有时候,更复杂的运算如指数和平方根,也包括在算术运算的范畴内。算术运算要按照特定规则来进行。

自然数、整数、有理数(以分数的形式)和实数(以十进制指数的形式)的运算主要是在小学和中学的时候学习。用百分比形式进行运算也主要是在这个时候学习。然而,在成人中,很多人使用计算器,计算机或者算盘来进行数学计算。

专业数学家有时会使用高等算术来指数论,但这不应该和初等算术相搞混。另外,算术也是初等代数[1]的重要部分之一。

十进制计数法

基数(前十个非负整数0,1,2,……,9)的基础上构建所有实数。一个十进制数由一个基数序列组成,每一位数字的命名取决于其相对于小数点的位置。例如:517.36表示5个100(102),加1个10(101),加7个最小整数单位1(100),加3个0.1(10-1),加6个0.01(10-2)。该计数法的一个要点(也是其实现的难点)是对0与其它基数一视同仁[2]

算术运算

算术运算指加法、减法、乘法和除法,但有时也包括较高级的运算(例如百分比、平方根、取幂和对数)。算术按运算次序进行,只要集合可以进行加减乘除四则运算(除以零除外),而四则运算合乎基本公理,都可称之为一个域(Field)。

加法 (+)

加法是基本算术运算。简单来说,加法将两个数字结合,成为一个数字,称之为“和”。把多于两个数相加,可以视为重复的加法;这个过程称为求和,包括在级数中把无穷多个数相加。1的重复加法是计数的最基本的形式。

加法满足交换律和结合律。加法的单位元是0,也就是说,把任何数加上0都得到相同的数。另外,加法的逆元素就是相反数,也就是说,把任何数加上它的相反数都得出单位元0。例如,7的相反数是(-7),所以7 + (-7) = 0。

减法 (−)

减法是加法的逆运算。减法是求出两个数(被减数和减数)的差。如果被减数大于减数,那么差为正数;如果被减数小于减数,那么差为负数;如果它们相等,那么差为0。

减法既不满足交换律又不满足结合律。由于这个原因,把减法视为被减数和减数的相反数的加法通常是很有帮助的,也就是说,a− b = a + (−b)。当写成加法时,所有加法的性质都成立。

乘法 (× 或 ·)

乘法本质上是一组相同数字的重复累加或总和。乘法运算可得出乘数与被乘数(有时被通称为因数)的乘积。

乘法运算(由于其本质是重复累加)具有交换性和结合性;进而,它对加法和减法运算具有分配性。乘法单位为1,即,用1乘以任意数的结果仍为该数。并且,任意数字的乘法逆元素是其倒数,即,用一个数的倒数乘以该数,其结果为乘法单位:1。

除法 (÷ 或 /)

除法是乘法的逆运算。除法运算得到两个数的商=被除数除以除数。任何被除数被零除是没有定义的。对于正数,如果被除数大于除数,其商大于1,否则商小于1(对于负数和-1有类似的规则)。商乘以除数其结果总是被除数。

除法运算不具有交换性和结合性。正如可以将减法视为加法,除法亦可被视作被除数和除数的倒数之间的乘法运算,即,a ÷ b = a × 1⁄b 。当被写为乘积形式,运算遵循乘法的所有特性。

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参考文献