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弧長

來自 呢圖網 的圖片

名稱:弧長

定義:在圓上過2點的一段弧的長度叫做弧長

曲線的弧長也稱曲線的長度,是曲線的特徵之一。不是所有的曲線都能定義長度,能夠定義長度的曲線稱為可求長曲線。

最早研究的曲線弧長是圓弧的長度,所以狹義上,特指圓弧的長度。

半徑為R的圓中,n°的圓心角所對圓弧的弧長為nπR/180°,[1]

基本概念

在研究曲線時,我們總引進弧長作為參數,一方面是由於曲線的一般參數 t 不具有任何幾何意義,另一方面,因為弧長是曲線的剛體運動不變量,用弧長作參數,可大大簡化公式,並較容易導出其他不變量。

為連續曲線(如圖1)。它的端點分別為A,B,在A,B之間任取n-1個點:P1,P2,…Pn-1。為方便計,把A寫成P0,把B寫成Pn。它們將Γ分成n段。設各點對應的參數依次為a=t0,t1,t2,…,tn-1,tn=b。用直線段連結相鄰的點,得到一折線形,它的長:

當分點無限增加時,若σn趨於一個與分點的選擇無關的確定極限,則稱此極限為曲線段AB的弧長。

曲線 類曲線(k≥1)都有長度。曲線Γ在[t0,t]之間的長度可用公式:

表示。弧長稱為曲線的自然參數

在取自然參數時,曲線的方程:

,則t可視為曲線從某點量起的弧長參數。

弧長的計算

下面我們用微分元素法計算曲線的長度。

設平面曲線C的參數表示為

,這樣的稱為光滑曲線,如圖2.

顯然這時曲線的長度L對於區間 相應的弧長

故由微分元素法可知曲線總長為

同樣,對於空間光滑曲線

曲線總長為

若平面光滑曲線C被表達成了直角坐標形式

則C也有參數表示

故由公式(1)可知這時

例1 證明:圓 。

證明: 由對稱性可知所求周長是第一象限部分長度的4倍,在第一象限中圓的參數方程是

故由公式(1)得圓的周長

扇形的弧長與計算公式

半徑為R的圓中,n°的圓心角所對弧長的計算公式為

參考來源

扇形面積公式,弧長公式圖片

參考資料

  1. 弧長怎麼算,360問答 , 2017年11月25日