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在數學中，六素數（sexy prime）是相差為 6 的素數偶 (p, p + 6)。例如數 5 和 11 都是素數且差為 6。如果 p + 2 或 p + 4 也是素數，則六素數是素數三元組的一部分。
六素數的英文 "sexy prime" 源於拉丁語六：sex。
類型
六素數偶
500之下的六素數（OEIS 中數列Template:OEIS2C 與 Template:OEIS2C) 有：
- (5,11), (7,13), (11,17), (13,19), (17,23), (23,29), (31,37), (37,43), (41,47), (47,53), (53,59), (61,67), (67,73), (73,79), (83,89), (97,103), (101,107), (103,109), (107,113), (131,137), (151,157), (157,163), (167,173), (173,179), (191,197), (193,199), (223,229), (227,233), (233,239), (251,257), (257,263), (263,269), (271,277), (277,283), (307,313), (311,317), (331,337), (347,353), (353,359), (367,373), (373,379), (383,389), (433,439), (443,449), (457,463), (461,467).
截至2009年5月，已知最大六素數是肯·戴維斯（Ken Davis）找到的，有 11593 位。這組素數 (p, p+6) 是
- p = (117924851×587502×9001#×(587502×9001#+1)+210)×(587502×9001#−1)/35+5.[1]
六素數三元組
六素數可擴張成更大的組合。素數三元組 (p, p + 6, p + 12) 使得 p + 18 是合數稱為 六素數三元組。1000 以下的六素數三元組是 (Template:OEIS2C、Template:OEIS2C、Template:OEIS2C)：
- (7,13,19), (17,23,29), (31,37,43), (47,53,59), (67,73,79), (97,103,109), (101,107,113), (151,157,163), (167,173,179), (227,233,239), (257,263,269), (271,277,283), (347,353,359), (367,373,379), (557,563,569), (587,593,599), (607,613,619), (647,653,659), (727,733,739), (941,947,953), (971,977,983).
截至2006年4月，最大已知六素數三元組由肯·戴維斯找到，有5132位：
- p = (84055657369 · 205881 · 4001# · (205881 · 4001# + 1) + 210) · (205881 · 4001# - 1) / 35 + 1.[2]
六素數四元組
六素數四元組 (p, p + 6, p + 12, p + 18) 在十進制下只能以最後一位為 1 的素數開始（除去 p = 5 的四元組）。1000 以下的六素數四元組是 (Template:OEIS2C、Template:OEIS2C、 Template:OEIS2C、Template:OEIS2C)：
- (5,11,17,23), (11,17,23,29), (41,47,53,59), (61,67,73,79), (251,257,263,269), (601,607,613,619), (641,647,653,659).
截至2005年11月，已知最大六素數四元組由 Jens Kruse Andersen 找到，有 1002 位：
- p = 411784973 · 2347# + 3301.[3]
六素數五元組
在一個公差為 6 的五項等差數列中，因為 6 > 5 且這兩個數互素，必有一項被 5 整除。從而惟一的六素數五元族是 (5,11,17,23,29)，不可能有更長六素數序列了。
六素數孿生素數的公式
已經知道定理：
「若自然數R與R+6都不能被不大於<math>\sqrt{R+6}</math>任何素數
整除，則R與R+6都是素數，我們稱為相差6的孿生素數」。這是依據素數判定法則得出的。 這句話本身可以用一個公式。
相差6的孿生素數公式
<math>R=p_{1}m_{1}+e_{1}=p_{2}m_{2}+e_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+e_{k}.</math>(1)
其中 <math>p_{1},p_{2},\dots,p_{k}</math>表示順序素數2，3，5，....。<math>e_{i}</math>≠0,<math>e_{i}</math>≠<math>p_{i}-6</math>。
若<math>R<P^{2}_{K+1}-6</math>,則R與R+6是一對相差6的孿生素數。
我們可以把（1）式內容等價轉換成為同餘式組表示：
- <math>R \equiv e_1 \pmod{p_1}, R \equiv e_2 \pmod{p_2}, \dots, R \equiv e_k \pmod{p_k} (2)</math>
由於（2）的模<math>p_{1}</math>,<math>p_{2}</math>,...,<math>p_{k}</math> 兩兩互素，根據孫子定理(中國剩餘定理）知，對於給定的e值，（2）在
<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>範圍內有唯一解。
例如，k=2時，
<math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+1</math>，解得R=7，13； 13<5²-6。得知7與7+6,13與13+6都是相差6的孿生素數。
<math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+2</math>，解得R=5，11，17； 17<5²-6。得知5與5+6,11與11+6，17與17+6都是相差6的孿生素數
求得了（3，5²）區間的全部相差6的孿生素數R。
| k=3時 | <math>5m_{3}+1</math> | <math>5m_{3}+2</math> | <math>5m_{3}+3</math> |
|---|---|---|---|
| <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+1</math>= | 31 | 7,37 | 13 |
| <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+2</math>= | 11,41 | 17 | 23 |
求得了（5，7²）區間的全部相差6的孿生素數中的R。
| k=4時 | <math>7m_{4}+2</math> | <math>7m_{4}+3</math> | <math>7m_{4}+4</math> | <math>7m_{4}+5</math> | <math>7m_{4}+6</math> |
|---|---|---|---|---|---|
| <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+1</math>= | 121 | 31 | 151 | 61 | 181 |
| <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+2</math>= | 37 | 157 | 67 | 187 | 97 |
| <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+3</math>= | 163 | 73 | 193 | 103 | 13 |
| <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+1</math>= | 191 | 101 | 11 | 131 | 41 |
| <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2</math>= | 107 | 17 | 137 | 47 | 167 |
| <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+3</math>= | 23 | 143 | 53 | 73 | 83 |
求得了（7,<math>11^{2}</math>）區間的全部相差6的孿生素數中R（小於121-6的18個數值）, 仿此下去可以求得任意大的數以 內的全部相差6的孿生素數。並且一個不漏地求得。由孫子定理知，對於所有可能的<math>a_{1}, a_{2} \cdot , a_{k}</math>值， (1)和(2)式在<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>範圍內，有（<math>p_{1}-1</math>）（<math>p_{2}-1</math>）(<math>p_{3}-2</math>)...（<math>p_{k}-2</math>）個解. 兩式的本質是從<math>p_{1}</math>,<math>p_{2}</math>,...,<math>p_{k}</math> 中剔除掉<math>p_{i}m_{i}</math>（m>1)的合數和<math>p_{1}-6</math>，<math>p_{2}-6</math>，...，<math>p_{k}-6</math>.
切比雪夫證明了「<math>p^{2}_{k+1}</math><<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>由k>3都是
正確的，<math>5^{2}</math>>2×3，<math>7^{2}</math>>2×3×5，而<math>11^{2}</math><2×3×5×7。從11開始都是這樣了。（參見[數學欣賞]漢斯拉德海著220頁「數30的
一個性質」北京出版社1981.6）所以，若K≥4時，（1）（2）式的計算結果只能取<math>p^{2}_{k+1}</math>以內的值才是素數。相差6的孿生素數猜想就是說，在k任意大時都有小於<math>P^{2}_{K+1}-6</math>的解
。
六素數三元組公式
我們把定理： 「若自然數R-6和R和R+6不能被不大於<math>\sqrt{R+6}</math>的任何素數整除，則R-6和都是素數，稱為相差6的 三生素數組」。我們將相差6的三生素數組用公式表達為：
<math>R=p_{1}m_{1}+d_{1}=p_{2}m_{2}+d_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+d_{k} \qquad \qquad \cdots \quad (5)</math>
中<math>d_{i} \neq 0</math>，<math>d_{i} \neq 6</math>，<math>b_{i} \neq p_{i}-6</math>（保證<math>R-6,
R, R+6</math>都不能被任一个素数整除），<math>1 \le d_{i} \le p_{i} - 1</math>。
同樣我們可以把（5）式等價轉換成為線性同餘式組： <math>R \equiv d_1 \pmod{p_1}, \ R \equiv d_2 \pmod{p_2}, \ \cdots,\ R \equiv d_k \pmod{p_k} \qquad \qquad \cdots \quad (6)</math>
由於這類同餘式組的模兩兩互素，根據孫子定理，我們知道（6）式在給定值時在有唯一解。 利用（5）式或（6）式）可以構造區間上的一切相差6的三生素數組。 例題． 例如k=2時，<math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+2</math>，解得<math>R=11, 17, </math>。這二個素數都滿足 <math>R<p^{2}_{k+1}-6</math>的條件：<math>11, 17<5^2-6</math>，因此，這三個素數所對應的素數組： 11-6，11與11+6；
17-6，17與17+6；
都是三胞胎素數組。 <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+1</math>，解得<math>R=13, </math>。這個素數都滿足<math>R<p^{2}_{k+1}-6</math>的 條件：<math> 13<5^2-6</math>，因此，這個素數所對應的素數組： 13-6，13，13+6. 這樣，就求得了區間<math>(5, 5^2)</math>中的全部相差6的三胞胎素數。 根據孫子定理知（5）式（6）式，對於所有的<math>b_{1}, b_{2}, \cdots , b_{k}</math>，（6）式 在<math>p_{1} p_{2} \cdots p_{k}</math>範圍共有（2－1）×（3－1）×（5－3）×（7－3）×...×（<math>P_{k}</math>－3）個解，仿此下去可以求 得任意大的數以內的全部相差6的三生素數。並且一個不漏地求得，不會混入一個合數。
六素數四元組
我們可以依照上面的方法照此類推：
「若自然數<math>R-9</math>,<math>R-3 </math>，<math>R+3 </math>，<math>R+9</math>不能被不大於<math>\sqrt{R+9}</math>任何素數整除，則<math>R-9</math>,<math>R-3 </math>，<math>R+3 </math>，<math>R+9</math>都是素數，我們稱為相差6的素數四元組」。
<math>R=p_{1}m_{1}+c_{1}=p_{2}m_{2}+c_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+c_{k} \qquad \qquad \cdots \quad (7)</math>
中<math>c_{i} \neq 3</math>，<math>c_{i} \neq 9</math>，<math>c_{i} \neq p_{i}-3</math>，<math>c_{i} \neq p_{i}-9</math>
（保證<math>R-9,
R-3, ,R+3,R+9</math>都不能被任一个素数整除），<math>0 \le c_{i} \le p_{i} - 1</math>。 这个素数都满足<math>R<p^{2}_{k+1}-9</math>
則R-9,R-3,R+3,R+9都是素數。
同餘式組： <math>R \equiv c_1 \pmod{p_1}, \ R \equiv c_2 \pmod{p_2}, \ \cdots,\ R \equiv c_k \pmod{p_k} \qquad \qquad \cdots \quad (8)</math>
例如，k=2時，<math>R=2m_{1}+0=3m_{2}+2</math>，解得<math>R=14 </math>。滿足<math>14<5^{2}-9</math> 得知，14-9,14-3,14+3,14+9是一組六素數四元組。 k=3時，<math>R=2m_{1}+0=3m_{2}+2=5m_{2}+0</math>，解得<math>R=20 </math>.滿足<math>20<7^{2}-9</math>
得知，<math>20-9</math>,<math>20-3 </math>，<math>20+3 </math>，<math>20+9</math>是一組六素數四元組。
六素數五元組
「若自然數R-12,R-6,R,R,R+6,R+12不能被不大於<math>\sqrt{R+12}</math>任何素數整除，則R-12,R-6,R,R+6,R+12都是素數，我們稱為相差6的素數五元組」。 <math>R=p_{1}m_{1}+f_{1}=p_{2}m_{2}+f_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+f_{k} \qquad \qquad \cdots \quad (9)</math> <math>R \equiv f_1 \pmod{p_1}, \ R \equiv f_2 \pmod{p_2}, \ \cdots,\ R \equiv f_k \pmod{p_k} \qquad \qquad \cdots \quad (10)</math>
例子
- ↑ Ken Davis, "11593 digit sexy prime pair". Retrieved 2009-05-06.
- ↑ Jens K. Andersen, "The largest known CPAP-3". Retrieved 2009-01-27.
- ↑ Jens K. Andersen, "Gigantic sexy and cousin primes". Retrieved 2009-01-27.