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牛顿第二运动定律（Newton's second law of motion）表明，物体所受到的外力等于此物体的质量与加速度的乘积。牛顿第二定律也可以用动量来表明，即物体所受到的外力等于此物体的动量对时间的导数。

1687年，英国物理泰斗艾萨克·牛顿在钜著《自然哲学的数学原理》里，提出了牛顿运动定律，其中有三条定律，分别为牛顿第一定律、牛顿第二定律与牛顿第三定律。牛顿第二定律又称为「加速度定律」。[1]

牛顿第二定律被誉为经典力学的灵魂。在经典力学裡，它能够主导千变万化的物体运动与精彩有序的物理现象。牛顿第二定律的用途极为广泛，它可以用来设计平稳地耸立于云端的台北101摩天大厦，也可以用来计算从地球发射火箭登陆月球的运动轨道。[2]

牛顿第二定律是一个涉及到物体运动的理论，根据这定律，任意物体的运动所出现的改变，都是源自于外力的施加于这物体。这理论导致了经典力学的诞生，是科学史的一个里程碑，先前只是描述自然现象的理论不再被採纳，取而代之的是这个创立了一种理性的因果关系架构的新理论。实际而言，经典力学的严格的因果属性，对于西方思想与文明的发展，产生了很大的影响。[3]

概述

牛顿第二定律表明，物体所受到的外力等于此物体的质量与加速度的乘积，而加速度与外力同方向。以方程式表达，[4]

<math>\mathbf{F} \propto m\mathbf{a}</math> ；

其中，<math>\mathbf{F}</math> 是外力，<math>m</math> 是质量，<math>\mathbf{a}</math> 是加速度。

假若质量不变，则加速度跟受力成正比。假若受力不变，则加速度跟质量成反比。通过选择适当的单位，上述方程式也可以表达为

<math>\mathbf{F} = m\mathbf{a}</math> 。

假设施加外力于某物体，则由于该物体的加速度只与外力、质量有关，在任何状况下，质量不变的物体都会表现出同样的加速度：引用错误：无效<ref>标签；未填name属性的引用必须填写内容</math>；

其中，<math>m(v)</math>是物体的质量，<math>m_0</math>是静质量，<math>v</math>是物体的速度，<math>c</math>是光速。}}
<math>\mathbf{a}=\mathbf{F}/m</math>。
  • 合外力：外力只能造成物体朝著同方向的加速度运动。假设有几个外力作用于同样一个物体，则物体的受力是这几个外力的向量和，称为「合外力」。
  • 国际单位制：採用国际单位制，力、加速度、质量的单位分别规定为牛顿（N）、公尺每二次方秒（m/s2），公斤（kg）。施加1牛顿的力于质量为1公斤的物体，则此物体的加速度为1m/s2。也就是说，
<math> 1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 </math> 。
  • 惯性参考系：若要知道物体在某一时刻的加速度，则必须从某个静止物体（或呈匀速直线运动的物体）测量物体随著时间的流易而改变的位移，而在外力为零的前提下，这个静止物体（或呈匀速直线运动的物体）必须保持运动状态不变，这意味著必须从惯性参考系来测量整个物理系统。因此，牛顿第二定律已事先假设，物体的加速度是从惯性参考系测量到的数值。[4]
  • 力与加速度的分解：由于外力与加速度都是向量，这向量方程式实际是由三个纯量方程式组成的。採用直角坐标系 <math>(x,y,z)</math> ，这三个纯量方程式分别为
<math>F_x =ma_x</math> 、
<math>F_y =ma_y</math> 、
<math>F_z =ma_z</math> ；
其中，<math>(F_x,F_y,F_z)</math> 是外力 <math>\mathbf{F} </math> 的分量，<math>(a_x,a_y,a_z)</math> 是加速度 <math>\mathbf{a} </math> 的分量。
外力对于每个坐标轴方向的分量只会影响加速度对于那个坐标轴方向的分量，不会影响加速度的其它分量，而加速度对于每个坐标轴的分量也只会被外力对于那个坐标轴的分量影响，不能被外力的其它分量影响。这是外力的线性叠加性质所产生的后果，[4][註 1]
  • 质量守恒：经典力学有一个隐藏的假定，即质量守恒，这又被称为「牛顿第零运动定律」。牛顿并没有直接地提出这定律。第零运动定律表明，物体的质量守恒，与速度无关，与物体的受力无关．当几个物体相互作用时，或许会有质量从一个物体转移到另一个物体，但总质量不变。[5]
  • 决定论性：牛顿第二定律是一种决定论性定律。假定物体的质量、初始位置与初始速度为已知量，则从施加于物体的外力，可以应用牛顿第二定律计算出物体在其运动轨迹的任意时间的位置与速度。这是非常有用的方法。

牛顿的论述

原版第二定律的英文翻译为：

「motion」是「quantity of motion」的简称，在这里指的是物体的动量。「impressed force」指的是衝量。[6][7]整个句子翻译为：

牛顿对于动量与衝量彼此之间的关系的作解释：「假设施加于物体的衝量造成了物体的动量改变，则双倍的衝量会造成双倍的动量改变，三倍的衝量会造成三倍的动量改变，不论衝量是全部同时施加，还是一部分一部分慢慢地施加，所造成的动量改变都一样。

动量改变与原先动量之间的关系：这动量改变必定与施加的衝量同方向。假设在衝量施加之前，物体已具有某动量，则这动量改变会与原先动量相加或相减，依它们是同方向还是反方向而定，假设动量改变与原先动量呈某角度，则最终动量是两者按著角度合成的结果。」

牛顿所使用的术语的涵意、他对于第二定律的认知、他想要第二定律如何被众学者认知、以及牛顿表述与现代表述之间的关系，科学历史学者对于这些论题都已经做过广泛地研究与讨论。[註 2]

进阶论述

任何物理定律都必须具有可证伪性，即必须能够做实验证实是否正确。为了要明确牛顿第二定律是否具有可证伪性，必须对于加速度、力与质量做测量。测量加速度很简单，加速度是速度的时间变率，只要能测得速度改变与时间间隔，则可计算出加速度。然而，怎样测量力与质量？力与质量的定义为何？[8]

在对于质量与力给出定义后，按照这些定义裡的定量描述来测量物体的质量与物体的受力，再加上从观测物体的运动得到的加速度，就可以很容易地检试牛顿第二定律的正确性。

力的定义

很多常用教科书对于质量的定义不很令人满意。在大卫·哈勒代与罗伯特·瑞思尼克（：Robert Resnick）著作的教科书《基础物理（：Foundamental Physics）》裡，力被定义为造成物体加速的作用。类似地，在《大学物理》教科书裡，力也被定义为两个物体之间或物体与环境之间的作用。但是，它们都没有解释到底甚麽是「作用」？保罗·提泊罗（：Paul Tipler）在《科学家与工程师的物理》教科书裡，将力定义为造成物体改变速度的影响。那麽，「影响」又是甚麽呢。在道格拉斯·基安可理撰写的教科书裡，力的定义是可以直觉地被人们体验为对于物体的一种推或拉。可是，作者并未近一步解释推或拉怎样促使物体改变运动状态。这些定义都无法对于质量这基础术语用更为基础的概念来表达。[9]

古斯塔夫·基尔霍夫主张定义力为质量与加速度的乘积。[10][註 3]按照这方法，第二定律只是一个定义式，而不是自然定律。实际而言，这方法没有将在大自然里各种各样的力纳入考量，它忽略了每一种力的独特性。[13]


假设两条同样的弹簧被延伸同样的距离，其各自产生的「弹力」（一种物理现象）相等，则将这两条弹簧并联，可以製成两倍的弹力，又将一物体的两边分别连接这两条弹簧的末端，使弹力方向相反，则作用于物体的合力为零，物体的运动状态不会改变。为了对于弹力给出定量描述，设定「标准单位力」为某特定弹簧延伸特定距离所产生的弹力。任意整数倍的标准单位力都可以用几条特定弹簧所组成的系统来实现，对于标准单位力的任意分数倍，可以应用阿基米德的槓杆原理来实现。弹簧系统可以用来做测量实验，对于任意力做比较，给出它的测量值。例如，假设悬挂于两条特定弹簧的一个物体，正好能够将这两条特定弹簧延伸特定距离，则这物体感受到的引力等于两个标准单位力。[12][6][14][15]

质量的定义

虽然质量在物理学教育裡佔有中心地位，人们并不很清楚质量的概念，很多教科书对于质量的定义也不甚令人满意，它们都有一些重大瑕疵。这些定义所涉及到的困题，大部分出现于将经典描述融入现代描述的后果之中，而且清楚地被相对论、量子色动力学、强相互作用理论等等显露出来。[9]

有一种定义将质量设定为物体内部所含有的物质数量。这种定义可以追溯到中世纪。这也是牛顿在他的巨著《自然哲学的数学原理》裡对于质量给出的定义，按照这定义，质量可以从物体的密度与体积乘积求得。德国物理学者恩斯特·马赫对这定义给出严厉批评，他认为这定义触犯了循环推理，因为密度的定义是每单位体积的质量。[16][17]从测量的角度来看，牛顿并没有给出任何测量密度的方法，所以，也没有给出测量质量的方法。牛顿不能对于质量与密度同时给出定义，因此，质量并未被严格定义。[18]但是，牛顿的想法并不是这样，他把物体视为由很多微小的基本粒子均匀组成的聚集体，他认为这聚集体的结构是更为基础的概念，在计算物体的质量时，他会数算物体的小粒子数量，这数量乘以每个基本粒子的质量就是物体的质量。因此，只要设定某参考物体S的质量为标准质量，这参考物体S可以是石头、金块或铁块．那麽，n个物体S的质量必定是这标准单位质量的n倍。[19][6]可是，根据狭义相对论，一个盛装著热水的水壶，其质量与热水的温度有关，虽然水壶裡的水分子数量不变，若温度越高，则水分子的移动速度越快，因此质量也越大，若温度越低，则水分子的移动速度越慢，因此质量也越小，所以，随著物体的温度的改变，质量也会改变。[20]但是，在经典力学范围内，这质量的改变相当微小，可以被忽略。儘管牛顿给出对于质量的定义很简单，但仍旧能够给出足够准确的定量描述。[21]

另一种定义是基于惯性的概念。在这定义裡，质量被用来量度物体对于改变它的运动状态的抗拒能力。因此被称为「惯性质量」。然而，不管这定义是如何真确，它并没有给出怎样量度质量，人们无法直接估算物体的质量数值，因此，这定义似乎更像是一种形而上学定义。设想一个呈加速度运动的物体，假设物体感受到的力与固定质量不变，并且它的加速度与速度的方向相同，由于它的速度加大，劳仑兹因子也会加大，而加速度则会逐渐减小，随著速度的加大，越来越难维持加速度，这意味著物体的惯性增加，儘管质量保持不变。如同阿尔伯特·爱因斯坦与利奥波德·英费尔德所言，假设两个物体的固定质量相同，动量较大的物体对于外力的抗拒越强劲。由此可见，质量（固定质量）与惯性（惯性质量）是不一样的物理量。[20]

由于上述两种概念性定义的种种缺点，学者们常会使用操作性定义来给出定量描述，这种定义追溯至恩斯特·马赫对于这论题的原创研究。马赫定义使用到牛顿第三定律。[22]详尽细节，请参阅条目牛顿第三定律。

实验验证

1983年，莫德采·米尔格若姆提出的修正牛顿动力学理论（：modified Newtonian Dynamics）表明，由于星系自转问题，即被观测到的在星系裡恒星的速度大于牛顿力学的预测速度，牛顿万有引力定律或牛顿第二定律可能需要修正。[23]除了暗物质理论以外，修正牛顿动力学理论也可以用来解释星系自转问题。 这理论的适用区域大约在加速度为<math>a_0\approx 2\times 10^{-10} m s^{-2}</math>的数量级。为了符合天文物理学数据，这理论将牛顿第二定律修改为[24]

<math>\mathbf{F}=m\mathbf{a}\ \mu(a/a_0)</math>；

其中，<math>\mu(a/a_0)</math>是个函数，其符合以下两个条件：

  • 当<math>a\gg a_0</math>时，<math>\mu(a/a_0)\to 1</math>。
  • 当<math>a\ll a_0</math>时，<math>\mu(a/a_0)\to 0</math>。

一般而言，在各种物理案例中，很少会遇到这麽微小的加速度，然而，假若修正牛顿动力学理论确实被证实，则整个经典力学与广义相对论都需要被修改。因此，验证修正牛顿动力学理论是很重要的实验研究论题。

1986年，使用干涉仪测量摆质量的加速度对于时变电场的响应，物理学者证实，在加速度为<math>3\times 10^{-11} m s^{-2}</math>的状况下，牛顿第二定律仍旧有效。2007年，使用扭摆（：torsion pendulum）来表现对于时变电场的响应，实验证实，在加速度为<math>5\times 10^{-14} m s^{-2}</math>的状况下，牛顿第二定律正确无误。2011年，物理学者做实验测量微波共振器对于引力作用的响应，但并未在加速度为<math>10^{-10} m s^{-2}</math>的状况下找到任何偏差。2014年，使用纽秤来量度引力引起的加速度，物理学者在加速度为<math>10^{-12} m s^{-2}</math>的状况下仍未发现任何偏差。[24][25]

衝量

假设施加外力 <math>\mathbf{F}</math> 于某物体的时间有 <math>\Delta t</math> 那麽久，则这等于施加衝量 <math>\mathbf{J}</math> 于此物体：[26]

<math> \mathbf{J} = \int_{\Delta t} \mathbf F \,\mathrm{d}t</math> 。

根据现代的第二定律，

<math>\mathbf{F} =m\mathbf{a}</math> 。

经过 <math>\Delta t</math> ，假定质量不变，动量 <math>\mathbf{p}</math> 的改变为

<math> \Delta \mathbf{p} = m\Delta\mathbf{v}=m\int_{\Delta t} \mathbf{a} \,\mathrm{d}t= \int_{\Delta t} \mathbf F \,\mathrm{d}t</math> 。

所以，衝量与动量之间的关系式为

<math>\mathbf{J} = \Delta\mathbf{p}</math> 。

这就是原版第二定律。[27]

衝量的概念时常被用来分析碰撞与撞击问题。[28]

可变质量系统

火箭的燃料经过燃烧以后，会产生高温高压气体，经过加速排气到外界，就可以推动火箭前进。第二定律不能直接应用于这种可变质量系统。基本而言，第二定律只能应用于单独粒子（或理想化为粒子的物体），其质量守恒。对于多粒子系统案例，必需将第二定律加以延伸为[29]

<math>\mathbf{F}_{\mathrm{ext}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{p}) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(M\mathbf{v}_\mathrm{cm})</math> ；

其中，<math>\mathbf{F}_{\mathrm{ext}}</math> 是施加于系统的淨外力，<math>\mathbf{p}</math> 是系统的动量，<math>M</math> 是系统的总质量，<math>\mathbf{v}_\mathrm{cm}</math> 是系统质心的速度。

假设淨外力<math>\mathbf{F}_{\mathrm{ext}}</math>为零，则动量守恒，即最初动量<math>\mathbf{p}_i</math>等于最终动量<math>\mathbf{p}_f</math>：

<math>\mathbf{p}_i=\mathbf{p}_f</math>。

假设在时间在时间<math>t</math>与<math>t+\mathrm{d}t</math>之间，火箭的质量从<math>m</math>变为<math>m+\mathrm{d}m</math>，即质量为<math>-\mathrm{d}m</math>的燃料被燃烧与排出，燃料排出时的速度为<math>\mathbf{U}</math>，火箭的速度从<math>\mathbf{v}</math>变为<math>\mathbf{v}+\mathrm{d}\mathbf{v}</math>，那麽，动量守恒方程可以写为[30]

<math>m\mathbf{v}=(m+\mathrm{d}m)(\mathbf{v}+\mathrm{d}\mathbf{v})-\mathbf{U}\mathrm{d}m </math>。

注意到火箭速度<math>\mathbf{v}</math>与燃料速度<math>\mathbf{U}</math>都是从发射台参考系观测到的速度。那麽，相对于火箭参考系．燃料排出的相对速度<math>\mathbf{v}_{rel}</math>为

<math>\mathbf{v}_{rel}=\mathbf{U}-\mathbf{v}-\mathrm{d}\mathbf{v}</math>。

经过一番运算，可以得到

<math>\mathbf{v}_{rel}\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d}t}=m{\mathrm{d}\mathbf{v}\over \mathrm{d}t}</math>。

对于像火箭一类的可变质量系统，必需将第二定律的方程式添加一个项目，这项目专门计算进入或离开火箭的质量所带有的动量：[31]

<math>\mathbf{F}_{ext}+ \mathbf{v}_{rel} \frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d}t} = m {\mathrm{d}\mathbf{v}\over \mathrm{d}t}</math>；

其中，<math>\mathbf{F}_{ext}</math> 是施加于火箭的外力，例如地球施加于火箭的重力。

火箭的推力定义为

<math>\mathbf{F}_t\ \stackrel{def}{=}\ \mathbf{v}_{rel} \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}</math> 。

将这定义式代入，可以得到

<math>\mathbf{F} = m \mathbf{a}</math>

其中，<math>\mathbf{F}=\mathbf{F}_{ext}+\mathbf{F}_t</math> 是外力与推力的向量和。

参阅

麻省理工学院物理教授瓦尔特·列文（Walter Lewin）讲解牛顿第二定律。 (MIT OCW)[32] ]]

注释

  1. ↑ 假设物体是呈相对论性速度运动，则外力的方向与加速度的方向可能不同，必须用狭义相对论来处理。[4]
  2. ↑ 请参阅
    (1) I Bernard Cohen, "Newton’s Second Law and the Concept of Force in the Principia", in "The Annus Mirabilis of Sir Isaac Newton 1666–1966" (Cambridge, Massachusetts: The MIT Press, 1967), pages 143–185.
    (2) Stuart Pierson, "'Corpore cadente. . .': Historians Discuss Newton’s Second Law", Perspectives on Science, 1 (1993), pages 627–658.
    (3) Bruce Pourciau, "Newton's Interpretation of Newton's Second Law", Archive for History of Exact Sciences, vol.60 (2006), pages 157–207.
    (4) Online discussion by G E Smith, in 5. Newton's Laws of Motion, s.5 of "Newton's Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" in (online) Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2007.
  3. ↑ 有些学者认为由于力与动量的时间变率有关，而动量被定义为质量与速度的乘积，因此只有在质量被严格定义之后，力的定义才显得完全，所以，第一定律与第二定律并不是真正的定律，它们应该被视为定义。[11]又有些学者认为，力的概念过于艰涩，最好能够迴避引入力的概念，而最简单的方法就是诠释第二定律为力的定义。[12]

参考文献

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  3. ↑ French 1971，第3页
  4. ↑ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 French 1971，第161-172页
  5. ↑ Wilczek, Frank, Whence the Force of F = ma? II: Rationalizations, Physics Today, 2004, 57 (12): pp. 10–11, doi:10.1063/1.1878312 
  6. ↑ 6.0 6.1 6.2 马克士威 1878，第32-35页
  7. ↑ Dugas 1988，第200-207页
  8. ↑ Poincaré 1905，第110-111页
  9. ↑ 9.0 9.1 Hecht, Eugene, There Is No Really Good Definition of Mass, The Physics Teacher, 2006, 44 (1): 40–45, doi:10.1119/1.2150758 
  10. ↑ Sommerfeld 1952，第5-6页
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  12. ↑ 12.0 12.1 O'Sullivan, Colm. Newton's laws of motion: Some interpretations of the formalism. American Journal of Physics. Feb 1980, 48 (2): pp. 131. ISSN 0002-9505. 
  13. ↑ Anderson, James. Newton's first two laws are not definitions. American Journal of Physics. Dec 1990, 58 (12): pp. 1192–1195. doi:10.1119/1.16250. 
  14. ↑ 引用错误：无效<ref>标签；未给name属性为French115的引用提供文字
  15. ↑ 引用错误：无效<ref>标签；未给name属性为French128的引用提供文字
  16. ↑ Dugas 1988，第201-202页
  17. ↑ 马赫 2010，第194页
  18. ↑ Feather 1959，第128页
  19. ↑ French 1971，第172页
  20. ↑ 20.0 20.1 Hecht, Eugene, On Defining Mass, The Physics Teacher, 2011, 49 (1): 40–44, doi:10.1119/1.3527755 
  21. ↑ Roche, John, What is mass?, Eur. J. Phys, 2005, 26 (2): 1–18, doi:10.1088/0143-0807/26/2/002 
  22. ↑ Thornton & Marion 2004
  23. ↑ Milgrom, Modehai, A modification of the Newtonian dynamics as a possible alternative to the hidden mass hypothesis, Astrophysical Journal, 1983, 270: 365–370, ISSN 0004-637X, doi:10.1086/161130 
  24. ↑ 24.0 24.1 Meyer, H.; 等, Test of the law of gravitation at small accelerations (PDF), General Relativity and Gravitation, 2012, 44 (10): 2537–2545, doi:10.1007/s10714-012-1411-y 
  25. ↑ Little, S; Little, M, Laboratory test of Newtonʼs law of gravity for small accelerations, Classical and Quantum Gravity, 2014, 31 (19), doi:10.1088/0264-9381/31/19/195008 
  26. ↑ Raymond A. Serway, Jerry S. Faughn. College Physics. Pacific Grove CA: Thompson-Brooks/Cole. 2006: pp. 160ff. 
  27. ↑ I Bernard Cohen (Peter M. Harman & Alan E. Shapiro, Eds). The investigation of difficult things: essays on Newton and the history of the exact sciences in honour of D.T. Whiteside. Cambridge UK: Cambridge University Press. 2002: 353. ISBN 052189266X. 
  28. ↑ WJ Stronge. Impact mechanics. Cambridge UK: Cambridge University Press. 2004: 12 ff. ISBN 0521602890. 
  29. ↑ French 1971，第629页
  30. ↑ Halliday，Resnick & Walker（2005），第224-225页
  31. ↑ Plastino, Angel R.; Muzzio, Juan C. On the use and abuse of Newton's second law for variable mass problems. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy (Netherlands: Kluwer Academic Publishers). 1992, 53 (3): 227–232. Bibcode:1992CeMDA..53..227P. ISSN 0923-2958. doi:10.1007/BF00052611. 
  32. ↑ Walter Lewin, Newton's First, Second, and Third Laws, Lecture 6. (6:53–11:06)

经典力学


艾萨克·牛顿 [物理定律]] 经典力学

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