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| − | + | 名称：弧长 | |
| − | + | 定义：在圆上过2点的一段弧的长度叫做弧长 | |
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| − | 曲线的'''弧长'''也称曲线的长度，是曲线的特征之一。不是所有的曲线都能定义长度，能够定义长度的曲线称为可求长曲线。 | + | 曲线的'''弧长'''也称曲线的长度，是曲线的特征之一。不是所有的曲线都能定义[[ 长度]] ，能够定义长度的曲线称为可求长曲线。 |
| − | 最早研究的曲线弧长是圆弧的长度，所以狭义上，特指圆弧的长度。 | + | 最早研究的[[ 曲线]] 弧长是圆弧的长度，所以狭义上，特指圆弧的长度。 |
| − | 半径为R的圆中，n°的圆心角所对圆弧的弧长为nπR/180°，<ref>[ ], , | + | 半径为R的圆中，n°的[[ 圆心角]] 所对圆弧的弧长为nπR/180°，<ref>[https://wenda.so.com/q/1534113479217642 弧长怎么算],360问答 , 2017年11月25日 </ref> |
==基本概念== | ==基本概念== | ||
| − | 在研究曲线时，我们总引进弧长作为参数，一方面是由于曲线的一般参数 t 不具有任何几何意义，另一方面，因为弧长是曲线的刚体运动不变量，用弧长作参数，可大大简化公式，并较容易导出其他不变量。 | + | 在研究曲线时，我们总引进弧长作为[[ 参数]] ，一方面是由于曲线的一般参数 t 不具有任何几何意义，另一方面，因为弧长是曲线的刚体运动不变量，用弧长作参数，可大大简化公式，并较容易导出其他不变量。 |
设 | 设 | ||
| − | 为连续曲线(如图1)。它的端点分别为A，B，在A，B之间任取n-1个点：P1，P2，…Pn-1。为方便计，把A写成P0，把B写成Pn。它们将Γ分成n段。设各点对应的参数依次为a=t0，t1，t2，…，tn-1，tn=b。用直线段连结相邻的点，得到一折线形，它的长： | + | 为连续曲线(如图1)。它的端点分别为A，B，在A，B之间任取n-1个点：P1，P2，…Pn-1。为方便计，把A写成P0，把B写成Pn。它们将Γ分成n段。设各点对应的参数依次为a=t0，t1，t2，…，tn-1，tn=b。用[[ 直线]] 段连结相邻的点，得到一折线形，它的长： |
| − | 当分点无限增加时，若σn趋于一个与分点的选择无关的确定极限，则称此极限为曲线段AB的弧长。 | + | 当分点无限增加时，若σn趋于一个与分点的选择无关的确定[[ 极限]] ，则称此极限为曲线段AB的弧长。 |
曲线 类曲线(k≥1)都有长度。曲线Γ在[t0，t]之间的长度可用公式： | 曲线 类曲线(k≥1)都有长度。曲线Γ在[t0，t]之间的长度可用公式： | ||
| − | 表示。弧长称为曲线的自然参数。 | + | 表示。弧长称为曲线的自然[[ 参数]] 。 |
在取自然参数时，曲线的方程： | 在取自然参数时，曲线的方程： | ||
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==弧长的计算== | ==弧长的计算== | ||
| − | 下面我们用微分元素法计算曲线的长度。 | + | 下面我们用微分[[ 元素]] 法计算曲线的长度。 |
设平面曲线C的参数表示为 | 设平面曲线C的参数表示为 | ||
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，这样的称为光滑曲线，如图2. | ，这样的称为光滑曲线，如图2. | ||
| − | 显然这时曲线的长度L对于区间 相应的弧长 | + | 显然这时[[ 曲线]] 的长度L对于区间 相应的弧长 |
故由微分元素法可知曲线总长为 | 故由微分元素法可知曲线总长为 | ||
| − | 同样，对于空间光滑曲线 | + | 同样，对于[[ 空间]] 光滑曲线 |
曲线总长为 | 曲线总长为 | ||
| − | 若平面光滑曲线C被表达成了直角坐标形式 | + | 若平面光滑曲线C被表达成了直角[[ 坐标]] 形式 |
则C也有参数表示 | 则C也有参数表示 | ||
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例1 证明：圆 。 | 例1 证明：圆 。 | ||
| − | 证明: 由对称性可知所求周长是第一象限部分长度的4倍，在第一象限中圆的参数方程是 | + | 证明: 由对称性可知所求[[ 周长]] 是第一象限部分长度的4倍，在第一象限中圆的参数方程是 |
故由公式(1)得圆的周长 | 故由公式(1)得圆的周长 | ||
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==扇形的弧长与计算公式== | ==扇形的弧长与计算公式== | ||
| − | 半径为R的圆中，n°的圆心角所对弧长 | + | 半径为R的圆中，n°的[[ 圆心角]] 所对弧长 的[[计算]]公式为 |
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| − | == 参考 | + | <center> |
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| + | <center>扇形面积公式，弧长公式图片</center> | ||
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| + | == 参考 资料 == | ||
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於 2022年6月3日 (五) 06:45 的最新修訂
| 弧長 |
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名稱：弧長 定義：在圓上過2點的一段弧的長度叫做弧長 |
曲線的弧長也稱曲線的長度，是曲線的特徵之一。不是所有的曲線都能定義長度，能夠定義長度的曲線稱為可求長曲線。
最早研究的曲線弧長是圓弧的長度，所以狹義上，特指圓弧的長度。
半徑為R的圓中，n°的圓心角所對圓弧的弧長為nπR/180°，[1]
基本概念
在研究曲線時，我們總引進弧長作為參數，一方面是由於曲線的一般參數 t 不具有任何幾何意義，另一方面，因為弧長是曲線的剛體運動不變量，用弧長作參數，可大大簡化公式，並較容易導出其他不變量。
設
為連續曲線(如圖1)。它的端點分別為A，B，在A，B之間任取n-1個點：P1，P2，…Pn-1。為方便計，把A寫成P0，把B寫成Pn。它們將Γ分成n段。設各點對應的參數依次為a=t0，t1，t2，…，tn-1，tn=b。用直線段連結相鄰的點，得到一折線形，它的長：
當分點無限增加時，若σn趨於一個與分點的選擇無關的確定極限，則稱此極限為曲線段AB的弧長。
曲線 類曲線(k≥1)都有長度。曲線Γ在[t0，t]之間的長度可用公式：
表示。弧長稱為曲線的自然參數。
在取自然參數時，曲線的方程：
，則t可視為曲線從某點量起的弧長參數。
弧長的計算
下面我們用微分元素法計算曲線的長度。
設平面曲線C的參數表示為
，這樣的稱為光滑曲線，如圖2.
顯然這時曲線的長度L對於區間 相應的弧長
故由微分元素法可知曲線總長為
同樣，對於空間光滑曲線
曲線總長為
若平面光滑曲線C被表達成了直角坐標形式
則C也有參數表示
故由公式(1)可知這時
例1 證明：圓 。
證明: 由對稱性可知所求周長是第一象限部分長度的4倍，在第一象限中圓的參數方程是
故由公式(1)得圓的周長
扇形的弧長與計算公式
參考來源