圓形

圓形

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中文名；圓形 外文名；Round 讀音；Yuán xíng 釋義；在數學學科之中是表示從定點（圓心） 等距離到任一點的平面曲線。

在一個平面內，圍繞一個點並以一定長度為距離旋轉一周所形成的封閉曲線叫做圓(Circle)。

在平面內，圓是到定點的距離等於定長的點的集合叫做圓(Circle)

圓有無數條對稱軸，對稱軸經過圓心

圓具有旋轉不變性

圓形是一種圓錐曲線，由平行於圓錐底面的平面截圓錐得到。

圓形規定為360°，是古巴比倫人在觀察地平線太陽升起的時候，大約每4分鐘移動一個位置，一天24小時移動了360個位置，所以規定一個圓內角為360°。這個°，代表太陽。

圓是一種幾何圖形。根據定義，通常用圓規來畫圓。 同圓內圓的直徑、半徑的長度永遠相同，圓有無數條半徑和無數條直徑。圓是軸對稱、中心對稱圖形。對稱軸是直徑所在的直線。 同時，圓又是「正無限多邊形」，而「無限」只是一個概念。圓可以看成由無數個無限小的點組成的正多邊形，當多邊形的邊數越多時，其形狀、周長、面積就都越接近於圓。所以，世界上沒有真正的圓，圓實際上只是一種概念性的圖形。（當直線成為曲線即為無限點，因此也可以說有絕對意義的圓）

目錄

圓的定義

在同一平面內到定點的距離等於定長的點的集合叫做圓（circle）。這個定點叫做圓的圓心。

圓形一周的長度，就是圓的周長。能夠重合的兩個圓叫等圓。

圓不是一個正n邊形（n為無限大的正整數），邊長無限接近0但永遠無法等於0的正n邊形可以近似約等於圓，但並不是圓。

1.連接圓心和圓上的任意一點的線段叫做半徑，字母表示為r（radius）

2.通過圓心並且兩端都在圓上的線段叫做直徑，字母表示為d（diameter）。直徑所在的直線是圓的對稱軸。

在同一個圓中，圓的直徑 d=2r

弦

1.連接圓上任意兩點的線段叫做弦（chord）.在同一個圓內最長的弦是直徑。平面內，過圓心的弦是直徑，直徑所在的直線是圓的對稱軸，因此，圓的對稱軸有無數條。

弧

1.圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧（arc），以「⌒」表示。

2.大於半圓的弧稱為優弧，小於半圓的弧稱為劣弧，所以半圓既不是優弧，也不是劣弧。優弧一般用三個字母表示，劣弧一般用兩個字母表示。優弧是所對圓心角大於180度的弧，劣弧是所對圓心角小於180度的弧。

3.在同圓或等圓中，能夠互相重合的兩條弧叫做等弧。

角

1.頂點在圓心上的角叫做圓心角（central angle），圓心角度數等於所對的弧的度數

2. 頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。圓周角等於相同弧所對的圓心角的一半，等於所對的弧的度數的一半

等圓

能夠重合的兩個圓叫做等圓。

同心圓

圓心相同的圓叫做同心圓。

同圓

半徑相同的圓叫做同圓。

圓周率

圓的周長與直徑的比值叫做圓周率。它是一個無限不循環小數，通常用字母π（讀作「派」）表示。

π≈3.141592653589793238462643......計算時通常取近似值3.14。我們可以說圓的周長是直徑的π倍，或大約3.14倍，不能直接說圓的周長是直徑的3.14倍。

形

1.由弦和它所對的一段弧圍成的圖形叫做弓形。

2.直徑一樣的圓中，圓的一半小於半圓（周長）

3. 由圓心角的兩條半徑和圓心角所對應的一段弧圍成的圖形叫做扇形（sector）。

圓的對稱性

圓是軸對稱圖形，對稱軸在過圓心的直線上，圓有無數條對稱軸。圓同時也是中心對稱圖形，對稱中心有且僅有一個，位於圓的圓心。

表示方式

圓—⊙ ；半徑—r或R（在環形圓中外環半徑表示的字母）；圓心—O；弧—⌒；直徑—d ；

扇形弧長—L ； 周長—C ； 面積—S。

圓的周長：

圓周長的一半 c=πr

半圓的周長 c=πr+2r

圓的周長公式推導（此方面涉及到弧微分）

設圓的參數方程為

圓在一周內周長的積分

代入，可得

即

圓的面積公式

圓的面積計算公式：

把圓分成若干等份，可以拼成一個近似的長方形。長方形的寬相當於圓的半徑。

圓錐側面積

（l為母線長）

弧長角度公式

扇形弧長L=圓心角（弧度制）×R= nπR/180（θ為圓心角）（R為扇形半徑）

扇形面積S=nπ R²/360=LR/2（L為扇形的弧長）

圓錐底面半徑 r=nR/360（r為底面半徑）（n為圓心角）

扇形面積公式

R是扇形半徑，n是弧所對圓心角度數，π是圓周率，L是扇形對應的弧長。

也可以用扇形所在圓的面積除以360再乘以扇形圓心角的角度n，如下：

（L為弧長，R為扇形半徑）

推導過程:S=πr²×L/2πr=LR/2

(L=│α│·R)

位置關係

點和圓位置關係

①P在圓O外，則 PO>r。

②P在圓O上，則 PO=r。

③P在圓O內，則 PO＜r

反之亦然。

平面內，點P(x0,y0)與圓(x-a)²+(y-b)²=r²的位置關係判斷一般方法是：

①如果(x0-a)²+(y0-b)²<r²，則P在圓內。

②如果(x0-a)²+(y0-b)²=r²，則P在圓上。

③如果(x0-a)²+(y0-b)²>r²，則P在圓外。

直線和圓位置關係

①直線和圓無公共點，稱相離。 AB與圓O相離，d>r。

②直線和圓有兩個公共點，稱相交，這條直線叫做圓的割線。AB與⊙O相交，d

③直線和圓有且只有一公共點，稱相切，這條直線叫做圓的切線，這個公共點叫做切點。圓心與切點的連線垂直於切線。AB與⊙O相切，d=r。（d為圓心到直線的距離）

平面內，直線Ax+By+C=0與圓x²+y²+Dx+Ey+F=0的位置關係判斷一般方法是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等於0），代入x²+y²+Dx+Ey+F=0，即成為一個關於x的方程

如果b2-4ac>0，則圓與直線有2個公共點，即圓與直線相交。

如果b2-4ac=0，則圓與直線有1個公共點，即圓與直線相切。

如果b2-4ac<0，則圓與直線有無公共點，即圓與直線相離。

2.如果B=0即直線為Ax+C=0，即x=-C/A，它平行於y軸（或垂直於x軸），將x²+y²+Dx+Ey+F=0化為（x-a）²+（y-b）²=r²，令y=b，求出此時的兩個x值x1、x2，並且規定x12，那麼：

當x=-C/A1或x=-C/A>x2時，直線與圓相離；

當x1

圓和圓位置關係

①無公共點，一圓在另一圓之外叫外離，在之內叫內含。

②有公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內叫內切。

③有兩個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。

設兩圓的半徑分別為R和r，且R〉r，圓心距為P，則結論：外離P>R+r；外切P=R+r；內含P<R-r

內切P=R-r；相交R-r<P<R+r

圓的性質

⑴圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條通過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。

垂徑定理：垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的2條弧。

垂徑定理的逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的2條弧。

⑵有關圓周角和圓心角的性質和定理

① 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩個圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那麼他們所對應的其餘各組量都分別相等。

②在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半（圓周角與圓心角在弦的同側）。

直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。

圓心角計算公式：　θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。

即圓心角的度數等於它所對的弧的度數；圓周角的度數等於它所對的弧的度數的一半。

③ 如果一條弧的長是另一條弧的2倍，那麼其所對的圓周角和圓心角是另一條弧的2倍。

⑶有關外接圓和內切圓的性質和定理

①一個三角形有確定的外接圓和內切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，到三角形三個頂點距離相等；

②內切圓的圓心是三角形各內角平分線的交點，到三角形三邊距離相等。

③R=2S△÷L（R：內切圓半徑，S：三角形面積，L：三角形周長）。

④兩相切圓的連心線過切點。（連心線：兩個圓心相連的直線）

⑤圓O中的弦PQ的中點M，過點M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ於X，Y，則M為XY之中點。

（4）如果兩圓相交，那麼連接兩圓圓心的線段（直線也可）垂直平分公共弦。

（5）弦切角的度數等於它所夾的弧的度數的一半。

（6）圓內角的度數等於這個角所對的弧的度數之和的一半。

（7）圓外角的度數等於這個角所截兩段弧的度數之差的一半。

（8）周長相等，圓面積比正方形、長方形、三角形的面積大。

垂直於過切點的半徑；經過半徑的外端點，並且垂直於這條半徑的直線，是這個圓的切線。

切線的判定方法：經過半徑外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。

切線的性質：

（1）經過切點垂直於過切點的半徑的直線是圓的切線。

（2）經過切點垂直於切線的直線必經過圓心。

（3）圓的切線垂直於經過切點的半徑。

參考來源

寶寶巴士繪畫啟蒙 畫圓形，學習畫圓形，什麼東西是圓形的？