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黑體輻射
圖片來自CASE報科學

黑體輻射指處於熱力學平衡態黑體發出的電磁輻射。黑體輻射的電磁波譜只取決於黑體的溫度

另一方面,所謂黑體輻射其實就是物質達到平衡所表現出的現象。物質達到平衡,所以可以用一個溫度來描述物質的狀態,而光和物質的交互作用很強,如此光和光之間也可以用一個溫度來描述(光和光之間本身不會有交互作用,但光和物質的交互作用很強)。而描述這關係的便是普朗克分佈[1] (Planck distribution)。黑體輻射能量波長的分布僅與溫度有關。

黑體不僅僅能全部吸收外來的電磁輻射,且散射電磁輻射的能力比同溫度下的任何其它物體強。

對於黑體的研究,使自然現象中的量子效應被發現。 黑體作為一個理想化的物體,在現實中是不存在的,因此現實中物體的輻射也與理論上的黑體輻射有所出入。但是,可以觀察一些非常類似黑體的物質發出的輻射,例如一顆恆星或一個只有單一開口的空腔所發出的輻射。舉個例來說,人們觀測到宇宙背景輻射,對應到一個約3K的黑體輻射,這暗示宇宙早期光是和物質達到平衡的。而隨著時間演化,溫度慢慢降了下來,但方程式依然存在。(頻率和溫度的效應抵銷)

行星和其衛星之間的熱力學關係

黑體輻射定理的應用之一是用於概略的估計一個行星的溫度。其表面可能由於溫室效應而比估計溫度高。

因素

行星的溫度主要和以下幾個因素相關:

所有的輻射,無論是行星內部產生的,其他恆星還是其本身放出的,對行星的溫度都有很重要的影響。以下的推導即著重討論輻射。

推導

首先使用斯特藩-玻爾茲曼定律得到太陽放射出的總功率(能量/秒):

P_{S emt} = \left( \sigma T_{S}^4 \right) \left( 4 \pi R_{S}^2 \right) \qquad
\sigma \,:斯特藩-玻爾茲曼常數
T_S \,: 太陽的表面溫度
R_S \,: 太陽的半徑

太陽平均的向各個方向放出能量,因此,地球實際上只是接受到其中很小的一部分。這部分能量為(指接觸到大氣層外部):

P_{SE} = P_{S emt} \left( \frac{\pi R_{E}^2}{4 \pi D^2} \right) \qquad

其中

R_{E} \, :地球的半徑
D \,:天文單位, 太陽與地球的平均距離

由於本身的高溫,太陽發出的射線大多數屬於紫外線可見光(UV-Vis)頻率範圍。在這個頻率範圍內,地球會反射一部分能量,其數量為alpha,即地球對UV-Vis範圍射線的反照率。反過來,即地球吸收了1-\alpha的太陽光,並反射了剩下的。地球和其大氣層所吸收的能量為:

P_{abs} = (1-\alpha)\,P_{SE} \qquad \qquad

雖然地球僅僅以一個面積為\pi R^2的圓形區域進行吸收,但是它同時以一個球體的形態向各個方向放出能量。假設地球是一個完全黑體,它將遵循斯特藩-玻爾茲定理:

P_{emt\,bb} = \left( \sigma T_{E}^4 \right) \left( 4 \pi R_{E}^2 \right) \qquad \qquad

其中T_{E} 是地球的溫度。由於地球的溫度明顯低於太陽,其放射的多為光系的紅外線(IR)部分。在這個頻率範圍內,地球會放出黑體總放射波的一部分,大約為\overline{\epsilon},\overline{\epsilon}是紅外線頻率的平均放射率。因此地球和其大氣層實際放出的能量為:

P_{emt} = \overline{\epsilon}\,P_{emt\,bb} \qquad

假設地球處於熱平衡,則吸收的能量等於放射的能量:

P_{abs}=P_{emt} \qquad \qquad

代入所有關於太陽和地球能量的表達式(1-5)可以得到:

T_E=T_S\sqrt{\frac{R_S\sqrt{\frac{1-\alpha}{\overline{\epsilon}}}}{2D}

換句話說,考慮到所有的估計值,地球的溫度與下列因素有關:太陽的表面溫度,太陽的半徑,日地間距,以及地球的反照率和紅外發射率。

地球的溫度

如果代入對太陽和地球的測量值:

T_{S} = 5778 \ \mathrm{K},
R_{S} = 6.96 \times 10^8 \ \mathrm{m},
D = 1.496 \times 10^{11} \ \mathrm{m},
alpha = 0.306 \

並將平均放射率設為單位量,可以得到地球的「有效溫度」為:

T_E = 254.356 K or -18.8 ℃.

這個溫度值是基於地球是一個完全黑體的假設,忽略溫室效應並認為地球的反照率完全不變的基礎上得到的。而實際上地球僅是非常接近一個完美黑體,所以必須將估計溫度定為比有效溫度高出好幾度。如果想要估計地球在沒有大氣層的情況下的溫度,可以使用月球的反照率和發射率進行計算。月球的反照率和發射率大約為0.1054和0.95, 因此,可以得到這種情況下的溫度約為1.36 ℃. 地球的平均反照率的估計值在0.3–0.4之間,由此可以得到不同的估計溫度。進行計算時相較於太陽的溫度,尺寸和日地距離,人們更加常用日照常量(總日照量密度)。比如使用0.4為反照率並使用日照量密度1400 W m−2,可以得到約為245K的地球溫度。

運動黑體的多普勒效應

多普勒效應是著名的物理現象,人們用它來描述當一個光源對觀察者作相對運動時,其光線頻率的變化。若一單色光源的發射頻率為f,則當它相對觀察者做相對運動時,觀察者看起來其頻率為f'

f' = f \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} (1 - \frac{v}{c} \cos \theta)

其中v是這個光源對觀察者的相對速度,θ是速度向量和觀察者及光源間連線的夾角,c光速。上面的公式為總公式,還可以從其得到一些更簡單的特殊例子,如光源直接向觀察者移動(θ = π) 或是離開觀察者(θ = 0),當然其移動速度遠遠小於c

參考文獻

  1. 普朗克分佈,痞客邦