流形上的熱核和分析
內容簡介
熱核長期以來就是古典和現代數學的基本工具，從上世紀70年代幾何分析發明以來尤其如此。基於熱核的方法廣泛應用在分析、幾何、概率論甚至物理學中。本書是對基於黎曼流形上由Laplace-Beltrami算子和相應熱方程產生的熱核技巧的全面和廣泛的介紹。 這本書開始的十章介紹了熱核的基本知識和基本性質，後面六章介紹了不同背景下的熱核等更高深的知識。全書從基本的黎曼幾何概念出發，介紹了黎曼流形上的拉普拉斯算子[2]和熱方程的譜理論、馬爾可夫性和光滑性，最終導出高斯熱核估計。 本書由淺入深，還包含了400多道習題。是一本聯繫熱核經典和現代結果的橋樑。
目錄
前輔文
第一章Rn中的拉普拉斯算子與熱方程
1.1歷史背景
1.2格林公式
1.3熱方程
後記
第二章Rn中的函數空間
2.1空間Ck和Lp
2.2卷積與單位分解
2.3光滑函數逼近可積函數
2.4分布
2.5利用光滑函數逼近分布
2.6弱導數和索伯列夫空間
2.7Rn中的熱半群
後記
第三章黎曼流形上的拉普拉斯算子
3.1光滑流形
3.2切向量
3.3黎曼距離
3.4黎曼測度
3.5散度定理
3.6拉普拉斯算子和加權流形
3.7子流形
3.8乘積流形
3.9Rn;Sn;Hn中的極坐標
3.10模型流形
3.11路徑的長度以及測地距離
3.12光滑映射和等距同構
後記
第四章拉普拉斯算子和L2(M)中的熱方程
4.1分布與索伯列夫空間
4.2DirichletLaplace算子和預解式
4.3熱半群和L2-柯西問題
後記
第五章弱極大值原理和相關話題
5.1W10中的鏈式法則
5.2W1中的鏈式法則
5.3預解式的馬爾可夫性和熱半群
5.4弱極大值原理
5.5子集中的預解式和熱半群
後記
第六章Rn中的正則性理論
6.1嵌入定理
6.2兩個技術性引理
6.3局部橢圓正規性
6.4局部拋物正則性
後記
第七章流形上的熱核
7.1局部正則性問題
7.2半群解的光滑性
7.3熱核
7.4熱半群的延拓
7.5熱核關於t;x;y的光滑性
後記
第八章正解
8.1熱半群的極小性
8.2預解式的延拓
8.3強極大值/極小值原理
8.4隨機完備性
後記
第九章作為基本解的熱核
9.1基本解
9.2例子
9.3全局解
後記
第十章譜性質
10.1希爾伯特空間中算子的譜
10.2譜的下確界
10.3底部特徵函數
10.4相對緊區域上的熱核
10.5極大極小值原理
10.6離散譜及緊嵌入定理
10.7_1的正性
10.8logpt的長期漸進性質
後記
第十一章距離函數和完備性
11.1完備性的概念
11.2利普希茨函數
11.3本性自伴
11.4隨機完備性和體積增長
11.5拋物流形
11.6譜和距離函數
後記
第十二章積分形式的高斯估計
12.1積分極大值原理
12.2Davies-Gaffney不等式
12.3高階特徵值的上界
12.4具有調和初始函數的半群解
12.5Takeda不等式
後記
第十三章格林函數和格林算子
13.1格林算子
13.2上平均函數
13.3局部哈納克不等式
13.4_-調和函數序列的收斂
13.5正譜
13.6格林函數作為基本解
後記
第十四章超壓縮估計和特徵值
14.1超壓縮和熱核界
14.2Faber-Krahn不等式
14.3納什不等式
14.5Faber-Krahn蘊含超壓縮性
14.6超壓縮蘊含Faber-Krahn不等式
14.7較大特徵值的下界
14.8直積上的Faber-Krahn不等式
後記
第十五章點態高斯估計I
15.1L2-平均值不等式
15.2球中的Faber-Krahn不等式
15.3熱核加權L2-範數
15.4在球的並集中的Faber-Krahn不等式
15.5對角線以外的上界
15.6相對Faber-Krahn不等式和Li-Yau上界
後記
第十六章逐點高斯估計II
16.1Ptf的加權L2-範數
16.2熱核的高斯上界
16.3對角線上的下界
16.4結語:構造熱核的其他方法
後記和進一步的參考資料
附錄A參考資料
A.1希爾伯特空間
A.2弱拓撲
A.3緊算子
A.4測度論和積分
A.5自伴隨算子
A.6Gamma函數
參考文獻
符號列表
名詞索引
參考文獻
- ↑ 高等教育出版社簡介，高等教育出版社
- ↑ 探秘數學中的精彩算子：矢量微分和拉普拉斯算子，搜狐，2023-07-04