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正弦函數

來自 呢圖網 的圖片

中文名;正弦三角函數

外文名;trigonometric function

值域;[-1,1]

分類;三角函數的一種

奇偶性;奇函數

對稱性;軸對稱圖形、中心對稱圖形

定義域;實數集R

應用學科;數學、物理、天文、地理等

正弦(sine),數學術語,在直角三角形中,任意一銳角∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦,記作sinA(由英語sine一詞簡寫得來),即sinA=∠A的對邊/斜邊。

古代說法,正弦是股與弦的比例[1]

目錄

研究歷史

古代說的「勾三股四弦五」中的「弦」,就是直角三角形中的斜邊,「勾」、「股」是直角三角形的兩條直角邊。

正弦是股與弦的比例,餘弦是餘下的那條直角邊與弦的比例

正弦=股長/弦長

勾股弦放到圓里。弦是圓周上兩點連線。最大的弦是直徑。 把直角三角形的弦放在直徑上,股就是∠A所對的弦,即正弦,勾就是餘下的弦——餘弦。

按現代說法,正弦是直角三角形的對邊與斜邊之比。

現代正弦公式是

sin = 直角三角形的對邊比斜邊.

如圖1,斜邊為r,對邊為y,鄰邊為a。斜邊r與鄰邊a夾角Ar的正弦sinA=y/r

無論a,y,r為何值,正弦值恆大於等於0小於等於1,即0≤sin≤1.

三角函數

三角函數是數學中屬於初等函數中的超越函數的一類函數。它們的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數是在平面直角坐標系中定義的,其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中,但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解,將其定義擴展到複數系。

由於三角函數的周期性,它並不具有單值函數意義上的反函數。

三角函數在複數中有較為重要的應用。在物理學中,三角函數也是常用的工具。

在RT△ABC中,如果銳角A確定,那麼角A的對邊與鄰邊的比便隨之確定,這個比叫做角A 的正切,記作tanA

即tanA=角A 的對邊/角A的鄰邊

同樣,在RT△ABC中,如果銳角A確定,那麼角A的對邊與斜邊的比便隨之確定,這個比叫做角A的正弦,記作sinA

即sinA=角A的對邊/角A的斜邊

同樣,在RT△ABC中,如果銳角A確定,那麼角A的鄰邊與斜邊的比便隨之確定,這個比叫做角A的餘弦,記作cosA

即cosA=角A的鄰邊/角A的斜邊

正弦函數

一般的,在直角坐標系中,給定單位圓,對任意角α,使角α的頂點與原點重合,始邊與x軸非負半軸重合,終邊與單位圓交於點P(u,v),那麼點P的縱坐標v叫做角α的正弦函數,記作v=sinα。通常,我們用x表示自變量,即x表示角的大小,用y表示函數值,這樣我們就定義了任意角的三角函數y=sin x,它的定義域為全體實數,值域為[-1,1]。

相關公式

平方和關係

(sinα)^2 +(cosα)^2=1

積的關係

sinα = tanα × cosα(即sinα / cosα = tanα )

cosα = cotα × sinα (即cosα / sinα = cotα)

tanα = sinα × secα (即 tanα / sinα = secα)

倒數關係

tanα × cotα = 1

sinα × cscα = 1

cosα × secα = 1

商的關係

sinα / cosα = tanα = secα / cscα

和角公式

sin ( α ± β ) = sinα · cosβ ± cosα · sinβ

sin ( α + β + γ ) = sinα · cosβ · cosγ + cosα · sinβ · cosγ + cosα · cosβ · sinγ - sinα · sinβ · sinγ

cos ( α ± β ) = cosα cosβ ∓ sinβ sinα

tan ( α ± β ) = ( tanα ± tanβ ) / ( 1 ∓ tanα tanβ )

倍角半角公式

sin ( 2α ) = 2sinα · cosα

sin ( 3α ) = 3sinα - 4sin & sup3 ; ( α ) = 4sinα · sin ( 60 + α ) sin ( 60 - α )

sin ( α / 2 ) = ± √( ( 1 - cosα ) / 2)

由泰勒級數得出

sinx = [ e ^ ( ix ) - e ^ ( - ix ) ] / ( 2i )

級數展開

sin x = x - x3 / 3! + x5 / 5! - ... ( - 1 ) k - 1 * x 2 k - 1 / ( 2k - 1 ) ! + ... ( - ∞ < x < ∞ )

導數

( sinx ) ' = cosx

( cosx ) ' = ﹣ sinx

正弦定理

特定正弦函數與橢圓的關係

關於橢圓的周長等於特定的正弦曲線在一個周期內的長度的證明:

半徑為r的圓柱上與一斜平面相交得到一橢圓,該斜平面與水平面的夾角為α,截取一個過橢圓短徑的圓。以該圓和橢圓的某一交點為起始轉過一個θ角。則橢圓上的點與圓上垂直對應的點的高度可以得到

f(c)=r tanα sin(c/r)

r:圓柱半徑

α:橢圓所在面與水平面的角度

c:對應的弧長(從某一個交點起往某一個方向移動)

以上為證明簡要過程,則橢圓(x*cosα)^2+y^2=r^2的周長與f(c)=r tanα sin(c/r)的正弦曲線在一個周期內的長度是相等的,而一個周期T=2πr,正好為一個圓的周長

正弦定理

正弦定理(The Law of Sines)是三角學中的一個基本定理,它指出「在任意一個平面三角形中,各邊和它所對角的正弦值的比相等且等於外接圓的直徑」,即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D(r為外接圓半徑,D為直徑)。

早在公元2世紀,正弦定理已為古希臘天文學家托勒密(C.Ptolemy)所知.中世紀阿拉伯著名天文學家阿爾·比魯尼(al—Birunj,973一1048)也知道該定理。但是,最早清楚地表述並證明該定理的是13世紀阿拉伯數學家和天文學家納綏爾丁。在歐洲,猶太數學家熱爾松在其《正弦、弦與弧》中陳述了該定理:「在一切三角形中,一條邊與另一條邊之比等於其對角的正弦之比」,但他沒有給出清晰的證明。15世紀,德國數學家雷格蒙塔努斯在《論各種三角形》中給出了正弦定理,但簡化了納綏爾丁的證明。1571年,法國數學家韋達(F.Viete,1540一1603)在其《數學法則》中用新的方法證明了正弦定理,之後,德國數學家畢蒂克斯(B.Pitiscus,1561—1613)在其《三角學》中沿用韋達的方法來證明正弦定理。

單位圓

圖像中給出了用弧度度量的某個公共角。逆時針方向的度量是正角而順時針的度量是負角。設一個過原點的線,同 x 軸正半部分得到一個角 θ,並與單位圓相交。這個交點的 y 坐標等於 sin θ。在這個圖形中的三角形確保了這個公式;半徑等於斜邊並有長度 1,所以有了 sin θ = y/1 。單位圓可以被認為是通過改變鄰邊和對邊的長度並保持斜邊等於 1 查看無限數目的三角形的一種方式。

對於大於 2π 或小於 −2π 的角度,簡單的繼續繞單位圓旋轉。在這種方式下,正弦變成了周期為 2π的周期函數:

對於任何角度 θ 和任何整數 k。

級數

正弦函數(綠色)被對中心為原點的全圓的它的 11 次泰勒級數(紅色)緊密逼近。

微分方程

由於正弦的導數是餘弦,餘弦的導數是負的正弦,因此正弦函數滿足微分方程

這就是正弦的微分方程定義。

用其他三角函數的表示

兩角和的正弦

二倍角公式

三倍角公式

半角公式

和差化積公式

萬能公式

數學術語

正弦函數﹑餘弦函數﹑正切函數﹑餘切函數﹑正割函數與餘割函數合稱為三角函數

拉普拉斯變換

正弦函數的拉普拉斯變換為:。

參考來源

雙曲正弦函數到底是什麼呢?

參考資料

  1. 正弦函數,360文庫 , 2018年5月16日