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本徵值（eigenvalue）是線性代數與量子力學的核心概念，指算符作用於本徵態時所產生的標量倍數。數學表達為 Â|ψ⟩ = a|ψ⟩，其中 a 為本徵值，|ψ⟩ 為對應的本徵態，Â 為算符。在量子力學中，可觀察量的測量結果只能是對應厄米算符的本徵值之一，且厄米算符的本徵值必為實數，這保證了物理量測量結果的真實性。

本徵值的概念在物理學中有廣泛應用。在量子諧振子問題中，哈密頓算符的本徵值為 Eₙ = (n + ½)ℏω，形成等間距的離散能級，最低本徵值 E₀ = ½ℏω 稱為零點能量。在氫原子問題中，能量本徵值為 Eₙ = −13.6 eV/n²，完美解釋了氫原子光譜的離散線條。本徵值的離散性是量子化的數學本質：微觀系統的能量、角動量等物理量只能取特定值，而非連續變化。

離散譜與連續譜

算符的本徵值可分為離散譜與連續譜兩類。束縛態（如原子中的電子）對應離散本徵值，測量結果只能取有限個確定值；自由態（如散射態電子）對應連續本徵值，測量結果可在一定範圍內連續變化。本徵值譜的這種結構直接反映了物理系統的性質：原子光譜的線狀結構源自離散本徵值，而連續光譜則對應連續本徵值。求解本徵值問題是量子力學的核心計算任務，也是理解微觀物理現象的基礎。