可視化微分幾何和形式·一部五幕數學正劇

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《可視化微分幾何和形式·一部五幕數學正劇》，出版時間2024年1月1日，出版社人民郵電出版社，ISBN9787115611079。

內容簡介

本書以五幕數學劇的形式直觀地講述微分幾何和微分形式，包括「空間的實質」「度量」「曲率」「平行移動」和「微分形式」。在前四幕中，作者把「微分幾何」回歸為「幾何」，使用200多幅手繪示意圖，運用牛頓的幾何方法對經典結果做出了幾何解釋。在第五幕中，作者介紹了微分形式，以直觀的幾何方式處理高級主題。本書作者挑戰性地重新思考了微分幾何和微分形式這個重要數學領域的教學方式，只需要基本的微積分和幾何學知識即可閱讀本書。

目錄

第一幕空間的本質

第1章歐幾里得幾何與非歐幾何2

1.1歐幾里得幾何與雙曲幾何2

1.2球面幾何5

1.3球面三角形的角盈8

1.4曲面的內蘊幾何與外在幾何9

1.5通過「直性」來構作測地線12

1.6空間的本質15

第2章高斯曲率18

2.1引言18

2.2圓的周長和面積20

2.3局部高斯–博內定理24

第3章序幕和第一幕的習題26

第二幕度量

第4章曲面映射：度量34

4.1引言34

4.2球面的投影地圖36

4.3一般曲面上的度量38

4.4度量曲率公式41

4.5共形地圖43

4.6講一點兒可視化的複分析45

4.7球面的共形球極地圖49

4.8球極平面投影公式53

4.9球極平面投影的保圓性55

第5章偽球面和雙曲平面57

5.1貝爾特拉米的洞察57

5.2曳物線和偽球面58

5.3偽球面的共形地圖61

5.4貝爾特拉米–龐加萊半平面62

5.5利用光學來求測地線65

5.6平行角68

5.7貝爾特拉米–龐加萊圓盤71

第6章等距變換和複數74

6.1引言74

6.2默比烏斯變換76

6.3主要結果82

6.4愛因斯坦的時空幾何學84

6.5三維雙曲幾何90

第7章第二幕的習題96

第三幕曲率

第8章平面曲線的曲率110

8.1引言110

8.2曲率圓112

8.3牛頓的曲率公式113

8.4作為轉向率的曲率115

8.5例子：牛頓的曳物線119

第9章三維空間中的曲線121

第10章曲面的主曲率124

10.1歐拉的曲率公式124

10.2歐拉的曲率公式的證明126

10.3旋轉曲面127

第11章測地線和測地曲率131

11.1測地曲率和法曲率131

11.2默尼耶定理133

11.3測地線是「直的」135

11.4測地曲率的內蘊量度136

11.5量度測地曲率的一個簡單的外在方法136

11.6用透明膠帶構作測地線的一個新解釋137

11.7旋轉曲面上的測地線138

11.7.1球面上的克萊羅定理138

11.7.2開普勒第二定律140

11.7.3牛頓對開普勒第二定律的幾何證明142

11.7.4克萊羅定理的動力學證明144

11.7.5應用：再看雙曲平面上的測地線146

第12章曲面的外在曲率149

12.1引言149

12.2球面映射149

12.3曲面的外在曲率151

12.4哪些形狀是可能的?154

第13章高斯的絕妙定理159

13.1引言159

13.2高斯的漂亮定理(1816年)159

13.3高斯的絕妙定理(1827年)161

第14章尖刺的曲率165

14.1引言165

14.2錐形尖刺的曲率165

14.3多面角的內蘊曲率與外在曲率168

14.4多面體的絕妙定理170

第15章形狀導數172

15.1方向導數172

15.2形狀導數S175

15.3S的幾何效應176

15.4繞道線性代數：奇異值分解和轉置運算的幾何學177

15.5S的一般矩陣182

15.6S的幾何解釋和[S]的化簡184

15.7[S]由三個曲率完全確定186

15.8漸近方向187

15.9經典術語和記號：三種基本形式189

第16章全局高斯博內定理，引論191

16.1一些拓撲學知識與結果的陳述191

16.2球面和環面的曲率194

16.2.1球面的全曲率194

16.2.2環面的全曲率196

16.3看一看厚煎餅的K(Sg)197

16.4看一看麵包圈和橋的K(Sg)198

16.5拓撲度和球面映射200

16.6歷史注釋202

第17章全局高斯博內定理的第一個證明(啟發性證明)203

17.1平面環路的全曲率：霍普夫旋轉定理203

17.2變形圓周的全曲率206

17.3霍普夫旋轉定理的啟發性證明208

17.4變形球面的全曲率209

17.5全局高斯–博內定理的啟發性證明210

第18章全局高斯博內定理的第二個證明(利用角盈)213

18.1歐拉示性數213

18.2歐拉的(經驗的)多面體公式213

18.3柯西對歐拉多面體公式的證明216

18.3.1攤平了的多面體216

18.3.2多邊形網的歐拉示性數217

18.4勒讓德對歐拉多面體公式的證明219

18.5對曲面增加柄以提高其虧格222

18.6全局高斯–博內定理的角盈證明225

第19章全局高斯博內定理的第三個證明(利用向量場)227

19.1引言227

19.2平面上的向量場227

19.3奇點的指數228

19.4原型奇點：復冪函數231

19.5曲面上的向量場234

19.5.1蜂蜜流向量場234

19.5.2蜂蜜流與地形圖的關係236

19.5.3怎樣在曲面上定義奇點指數?238

19.6龐加萊–霍普夫定理239

19.6.1例子：拓撲球面239

19.6.2龐加萊–霍普夫定理的證明241

19.6.3應用：歐拉–呂以利埃公式的證明243

19.6.4龐加萊的微分方程與霍普夫的線場的比較244

19.7全局高斯–博內定理的向量場證明249

19.8往前的路怎麼走?253

第20章第三幕的習題255

第四幕平行移動

第21章一個歷史謎團268

第22章外在的構作270

22.1一邊前進，一邊向曲面投影270

22.2測地線和平行移動273

22.3馬鈴薯削皮器的移動274

第23章內蘊的構作278

23.1沿測地線的平行移動278

23.2內蘊(即「協變」)導數279

第24章和樂性283

24.1例子：球面283

24.2一般的測地線三角形的和樂性285

24.3和樂性是可加的286

24.4例子：雙曲平面287

第25章絕妙定理的一個直觀幾何證明291

25.1引言291

25.2關於記號和定義的一些說明292

25.3至今所知的故事293

25.4球面映射保持平行移動不變294

25.5再說漂亮定理和絕妙定理295

第26章全局高斯博內定理的第四個證明(利用和樂性)297

26.1引言297

26.2沿一條開曲線的和樂性?297

26.3霍普夫對全局高斯–博內定理的內蘊證明299

第27章度量曲率公式的幾何證明301

27.1引言301

27.2向量場圍繞迴路的環流量303

27.3排練：平面上的和樂性304

27.4和樂性作為地圖中由度量定義的向量場的環流量306

27.5度量曲率公式的幾何證明309

第28章曲率是相鄰測地線之間的作用力310

28.1雅可比方程簡介310

28.1.1零曲率：平面310

28.1.2正曲率：球面312

28.1.3負曲率：偽球面314

28.2雅可比方程的兩個證明315

28.2.1測地極坐標315

28.2.2相對加速度=速度的和樂性318

28.3小測地圓的周長和面積320

第29章黎曼曲率322

29.1引言和概要322

29.2n流形上的角盈323

29.3平行移動：三種構作方法325

29.3.1定角錐上的最近向量325

29.3.2在平行移動平面內的定角326

29.3.3希爾德的梯子327

29.4內蘊(又稱「協變」)導數rv327

29.5黎曼曲率張量329

29.5.1繞一個小「平行四邊形」的平行移動329

29.5.2用向量換位子把這個「平行四邊形」封閉起來331

29.5.3黎曼曲率的一般公式332

29.5.4黎曼曲率是一個張量334

29.5.5黎曼張量的分量336

29.5.6對於固定的wo，向量的和樂性只依賴於迴路所在的平面及其所圍面積337

29.5.7黎曼張量的對稱性338

29.5.8截面曲率340

29.5.9關於黎曼張量起源的歷史註記341

29.6n維流形的雅可比方程343

29.6.1截面雅可比方程的幾何證明343

29.6.2截面雅可比方程的幾何意義345

29.6.3雅可比方程和截面雅可比方程的計算證明346

29.7里奇張量347

29.7.1由一束測地線包圍的面積的加速度347

29.7.2里奇張量的定義和幾何意義349

29.8終曲351

第30章愛因斯坦的彎曲時空352

30.1引言：「我一生中最快樂的想法」352

30.2引力的潮汐力354

30.3牛頓引力定律的幾何形式358

30.4時空的度量360

30.5時空的圖示362

30.6愛因斯坦的真空場方程的幾何形式363

30.7施瓦氏解和愛因斯坦理論的最初驗證366

30.8引力波371

30.9愛因斯坦的(有物質的)場方程的幾何形式374

30.10引力坍縮成為黑洞377

30.11宇宙學常數：「我一生中最嚴重的錯誤」381

30.12結束語383

第31章第四幕的習題384

第五幕形式

第32章1-形式394

32.1引言394

32.21-形式的定義395

32.31-形式的例子397

32.3.1引力做功的1-形式397

32.3.2引力做功1-形式的可視化398

32.3.3等高線圖和梯度1-形式399

32.3.4行向量402

32.3.5狄拉克符號(左矢)402

32.4基底1-形式403

32.51-形式的分量404

32.6梯度df是1-形式405

32.6.1複習：梯度f是一個向量405

32.6.2梯度df是一個1-形式406

32.6.31-形式的笛卡兒基{dxj}407

32.6.4df=(xf)dx+(yf)dy的1-形式解釋408

32.71-形式加法的幾何解釋408

第33章張量411

33.1張量的定義：階411

33.2例子：線性代數412

33.3從原有的張量做出新張量412

33.3.1加法412

33.3.2乘法：張量積413

33.4分量413

33.5度量張量與經典線元的關係414

33.6例子：再看線性代數415

33.7縮並416

33.8用度量張量來改變張量的階417

33.9對稱張量和反對稱張量419

第34章2-形式421

34.12-形式和p-形式的定義421

34.2例子：面積2-形式422

34.3兩個1-形式的楔積423

34.4極坐標下的面積2-形式426

34.5基底2-形式及投影427

34.62-形式與R3中向量的聯繫：流量429

34.7R3中向量積與楔積的關係431

34.8法拉第的電磁2-形式與麥克斯韋的電磁2-形式433

第35章3-形式439

35.13-形式需要三個維度439

35.2一個2-形式與一個1-形式的楔積439

35.3體積3-形式440

35.4球極坐標中的3-形式441

35.5三個1-形式的楔積，p個1-形式的楔積442

35.6基底3-形式444

35.7Ψ^Ψ≠0可能嗎?445

第36章微分學446

36.11-形式的外導數446

36.22-形式和p-形式的外導數448

36.3形式的萊布尼茨法則449

36.4閉形式和恰當形式450

36.4.1基本結果：d2=0450

36.4.2閉形式和恰當形式450

36.4.3複分析：柯西–黎曼方程451

36.5用形式做向量運算452

36.6麥克斯韋方程組456

第37章積分學459

37.11-形式的線積分459

37.1.1環流和功459

37.1.2與路徑的無關性<=>閉合環路積分為零460

37.1.3恰當形式φ=df的積分461

37.2外導數是一個積分461

37.2.11-形式的外導數461

37.2.22-形式的外導數465

37.3外微積分基本定理(廣義斯托克斯定理)467

37.3.1外微積分基本定理467

37.3.2相伴的歷史問題467

37.3.3例子：面積468

37.4邊界的邊界是零468

37.5向量微積分的經典積分定理469

37.5.1Φ=0-形式469

37.5.2Φ=1-形式470

37.5.3Φ=2-形式471

37.6外微積分基本定理的證明471

37.7柯西定理474

37.81-形式的龐加萊引理474

37.9德拉姆上同調初步475

37.9.1引言475

37.9.2一個特殊的二維渦旋向量場476

37.9.3渦旋1-形式是閉的477

37.9.4渦旋1-形式的幾何意義477

37.9.5閉1-形式的環流的拓撲穩定性478

37.9.6第一德拉姆上同調群480

37.9.7R3中的平方反比點源482

37.9.8第二德拉姆上同調群483

37.9.9環面的第一德拉姆上同調群485

第38章用形式來講微分幾何488

38.1引言：嘉當的活動標架法488

38.2聯絡1-形式490

38.2.1關於符號的約定和兩個定義490

38.2.2聯絡1-形式491

38.2.3注意：以前習慣的記號493

38.3姿態矩陣494

38.3.1通過姿態矩陣來講連絡形式494

38.3.2例子：柱面標架場495

38.4嘉當的兩個結構方程498

38.4.1用ej的對偶dxj來表示mi的對偶θi498

38.4.2嘉當第一結構方程498

38.4.3嘉當第二結構方程499

38.4.4例子：球面標架場500

38.5曲面的6個基本形式方程505

38.5.1使嘉當的活動標架適用於曲面：形狀導數與外在曲率505

38.5.2例子：球面507

38.5.3基底分解的唯一性508

38.5.4曲面的6個基本形式方程509

38.6對稱性方程和彼得松–梅納第–科達齊方程的幾何意義510

38.7高斯方程的幾何形式511

38.8度量曲率公式和絕妙定理的證明512

38.8.1引理：ω12的唯一性512

38.8.2度量曲率公式的證明512

38.9一個新的公式514

38.10希爾伯特引理514

38.11利布曼的剛性球面定理515

38.12n流形的曲率2-形式517

38.12.1引言和概述517

38.12.2廣義外導數519

38.12.3由曲率2-形式導出黎曼張量520

38.12.4再論比安基恆等式521

38.13施瓦西黑洞的曲率522

第39章第五幕的習題528

人名索引541

術語索引546