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動量定理

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中文名；動量定理 外文名；momentum 應用學科；物理 表達式；Ft=mv′－mv=p′－p

動力學的普遍定理之一。動量定理的內容為：物體在一個過程始末的動量變化量等於它在這個過程中所受力的衝量(用字母I表示)，即力與力作用時間的乘積，數學表達式為FΔt=mΔv。公式中的衝量為所有外力的衝量的矢量和。動量定理是一個由實驗觀測總結的規律，也可由牛頓第二定律和運動學公式推導出來，其物理實質也與牛頓第二定律相同，這也意味着它僅能在經典力學範圍內適用。而與動量定理相關的定律——動量守恆定律，大到接近光速的高速，小到分子原子的尺度，它依然成立。動量守恆定律的定義為：如果一個系統不受外力或所受外力的矢量和為零，那麼這個系統的總動量保持不變。由此可見，動量定理和動量守恆定律是兩個不同的概念，不能混為一談。

含義

動量定理的含義為：物體在一個過程始末的動量變化量等於它在這個過程中所受力的衝量。

(高中階段此公式亦可寫作)

F指合外力，如果為變力，可以使用平均值；

=既表示數值一致，又表示方向一致；

矢量求和，可以使用正交分解法；

適用條件

（1）在牛頓力學適用的條件下才可適用動量定理，即動量定理僅適用於宏觀低速的研究對象。對於微觀粒子和以光速運動的物體，動量定理不再適用；

（2）只適用於慣性參考系，若對於非慣性參考系，必須加上慣性力的衝量。且v1，v2必須相對於同一慣性系。

推導過程

將F = ma （動力學方程牛頓第二運動定律）——

代入v = v₀ + at （運動學方程）

得

化簡得mv- mv₀ = Ft

註：把mv做為描述物體運動狀態的量，叫動量。

說明

（1）動量定理公式中的F是研究對象所受的包括重力在內的所有外力的合力。它可以是恆力，也可以是變力。當合外力為變力時，F是合外力對作用時間的平均值。p為物體初動量，p′為物體末動量，t為合外力的作用時間。

（2）FΔt=mΔv 是矢量式。在應用動量定理時，應該遵循矢量運算的平行四邊形法則，也可以採用正交分解法，把矢量運算轉化為標量運算。假設用Fx（或Fy）表示合外力在x（或y）軸上的分量。（或）和vx （或vy ）表示物體的初速度和末速度在x（或y）軸上的分量，則

Ix=mvx－mvx₀

Iy=mvy－mvy₀

上述兩式表明，合外力的衝量在某一坐標軸上的分量等於物體動量的增量在同一坐標軸上的分量。在寫動量定理的分量方程式時，對於已知量，凡是與坐標軸正方向同向者取正值，凡是與坐標軸正方向反向者取負值；對於未知量，一般先假設為正方向，若計算結果為正值。說明 實際方向與坐標軸正方向一致，若計算結果為負值，說明實際方向與坐標軸正方向相反。

推廣形式

可以推廣為質點系的動量定理，即系統內動量的增量和等於合外力的衝量。

同相關定律定理含義區別

動量定理

反映了力對時間的累積效應(衝量)，其增量是力在時間上的積累。

動能定理

反映了力對空間的累積效應(功)，其增量是力在空間上的積累。

動量守恆定律

應用

由於動量定理只涉及研究對象的初末兩個狀態，故有時對複雜的物理過程合理地應用動量定理可以極大地優化問題解決過程；

對於不涉及物體加速度a和物體位移x的運動和力的問題，應用動量定理有時會更為簡便；

應用於一類流體型動量定理問題：假設有一段持續的水柱打在某固定不動的物體上後，水流沿其原來運動方向的速度減為0，設水流打在該物體上時對該物體的作用力為F，水的密度為ρ，水流的初速度大小為v，水的流量為Q，忽略空氣阻力和水的重力，則對在很短的一段時間t內打在該物體上的水柱進行研究，設其體積為V，質量為m，由動量定理：Ft=mv①，由密度公式:m=ρV ②，由液體流量公式：V=Qt ③，聯立①②③式推導可得：F=ρQv.(此公式可作為二級結論記憶)

微分形式的動量定理

微分形式的動量定理：若質點系的總質量為M，質心速度為，則它的總動量為。

上式二邊對時間求導數，並利用質心運動定理得：，（1），

式中

為作用在質點系上所有外力的矢量和。式（1）就是用微分形式表示的動量定理，它表明:質點系的總動量對時間的變化率等於質點系所受外力的矢量和。可以看出，質點系總動量的變化僅與外力有關，並不受質點系中各質點相互作用的內力的影響。

積分形式的動量定理

積分形式的動量定理積分式（1），並用p1，和p2，分別表示質點系在時間t1和t2的總動量，則有：式中為時間間隔t2－t1內作用於第i個質點上的外力的衝量。上式是用積分形式表示的動量定理，它表明:在某力學過程的時間間隔內，質點系總動量的改變，等於在同一時間間隔內作用於質點系所有外力的衝量的矢量和。

由於動量定理和質心運動定理是可以相互推導的，所以這兩定理在本質上是一致的。在研究剛體或剛體系統的運動時，由於質心坐標容易確定，用質心運動定理比較方便;但在研究流體運動時，由於質心的坐標難以確定，用動量定理比較適宜。質點是質點系的一個特殊情況，故動量定理也適用於一個質點。

參考文獻

1、詞條作者：戴宗信．《中國大百科全書》74卷（第一版）力學 詞條：動量定理：中國大百科全書出版社，1987 ：118頁．

參考來源

動量定理的推導和內容具體應該是？