數學

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數學(英語 math )是利用符號語言研究數量、結構、變化以及空間等概念的一門學科，從某種角度看屬於形式科學的一種。數學透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察而產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。

基礎數學的知識與運用是個人與團體生活中不可或缺的一環。對數學基本概念的完善，早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本便可觀見，而在古希臘那裡有更為嚴謹的處理。從那時開始，數學的發展便持續不斷地小幅進展，至16世紀的文藝復興時期，因為新的科學發現和數學革新兩者的交互，致使數學的加速發展，直至今日。數學並成為許多國家及地區的教育範疇中的一部分。

今日，數學使用在不同的領域中，包括科學、工程、醫學、經濟學和金融學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展，例如物理學的實質性發展中建立的某些理論激發數學家對於某些問題的不同角度的思考。數學家也研究純數學，就是數學本身的實質性內容，而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始，但其過程中也發現許多應用之處。

目錄

歷史

數學有着久遠的歷史。它被認為起源於人類早期的生產活動：中國古代的六藝之一就有「數」，數學一詞在西方有希臘語詞源μαθηματικός（mathematikós），意思是「學問的基礎」，源於μάθημα（máthema，「科學，知識，學問」）。

史前的人類就已嘗試用自然的法則來衡量物質的多少、時間的長短等抽象的數量關係，比如時間單位有日、季節和年等。算術（加減乘除）也自然而然地產生了。古代的石碑及泥版亦證實了當時已有幾何的知識。

數學的各領域

如上所述，數學主要的學科最先產生於商業上計算的需要、了解數字間的關係、測量土地及預測天文事件。這四種需要大致地與數量、結構、空間及變化（即算術、代數、幾何及分析）等數學上廣泛的子領域相關連着。除了上述主要的關注之外，亦有用來探索由數學核心至其他領域上之間的連結的子領域：至邏輯、至集合論（基礎）、至不同科學的經驗上的數學（應用數學）、及較近代的至不確定性的嚴格研究。

數學命題證明的邏輯基礎

數學思維必須符合邏輯；

1，演繹證明某事肯定是這樣；

2，歸納說明某事在實際上是有效的；

3，溯因僅僅表明某事可能是。

所以溯因是推理中較弱的一種形式。

溯因整理成為一個命題叫做猜想。我們證明一個數學命題就是一種整體上弱勢溯因推理，每一個局部需要強勢演繹推理，於是困難就出現了，這超出了人類解決問題的能力！ 況且，，一個事實可能有多種原因，我們要找到那個必然的原因，並且用演繹推理證明就是它。好比盲人摸象。 我們講的溯因邏輯和我們說的演繹邏輯和歸納邏輯有什麼關係？ 演繹是從一般到特殊，歸納是從很多特殊到某一個一般。但是，溯因邏輯是從一個現象或者一個結果，反推出可能存在的原因。而證明數學命題就是把弱勢的溯因推理用絕對強度演繹推理完成。 當有了足夠強大的演繹推理組成的溯因推理，才能夠有足夠的最佳解釋。 人永遠需要理由，解釋永遠需要解釋來解釋。數學家用公理把數學推理的無窮退後阻斷，防止無休止的循環論證。公理讓數學有了合法性。

數學的層次

數學第一層次是數學事實，例如3和5都是素數；

數學第二層次是數學概念，概念是將事實歸納成為一個系統性的含義。例如「孿生素數」；指兩個相差2的素數。

數學第三個層次是數學定理，從數學概念到數學定理需要證明。例如歐幾里得素數有無窮多個就是一條定理。例如命題「孿生素數有無窮多」，就是還沒有得到證明的。

數學第四個層次是數學理論。例如【初等數論】，包括了一系列概念、定理、公式、圖像、函數。

第一個層次不會自動上升到第三個層次，必須藉助第二個層次即概念，通過演繹法證明完成。

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