向量

向量

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中文名;向量 外文名;vector

在數學中，向量（也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向；線段長度：代表向量的大小。與向量對應的量叫做數量（物理學中稱標量），數量（或標量）只有大小，沒有方向。

向量的記法：印刷體記作黑體（粗體）的字母（如a、b、u、v），書寫時在字母頂上加一小箭頭「→」。

如果給定向量的起點（A）和終點（B），可將向量記作AB（並於頂上加→）。在空間直角坐標系中，也能把向量以數對形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。

在物理學和工程學中，幾何向量更常被稱為矢量。許多物理量都是矢量，比如一個物體的位移，球撞向牆而對其施加的力等等。與之相對的是標量，即只有大小而沒有方向的量。一些與向量有關的定義亦與物理概念有密切的聯繫，例如向量勢對應於物理中的勢能。

幾何向量的概念在線性代數中經由抽象化，得到更一般的向量概念。此處向量定義為向量空間的元素，要注意這些抽象意義上的向量不一定以數對表示，大小和方向的概念亦不一定適用。因此，平日閱讀時需按照語境來區分文中所說的"向量"是哪一種概念。不過，依然可以找出一個向量空間的基來設置坐標系，也可以透過選取恰當的定義，在向量空間上介定範數和內積，這允許我們把抽象意義上的向量類比為具體的幾何向量。

目錄

發展歷史

向量，最初被應用於物理學。很多物理量如力、速度、位移以及電場強度、磁感應強度等都是向量。大約公元前350年前，古希臘著名學者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到。「向量」一詞來自力學、解析幾何中的有向線段。最先使用有向線段表示向量的是英國大科學家牛頓。

從數學發展史來看，歷史上很長一段時間，空間的向量結構並未被數學家們所認識，直到19世紀末20世紀初，人們才把空間的性質與向量運算聯繫起來，使向量成為具有一套優良運算通性的數學體系。

向量能夠進入數學並得到發展，首先應從複數的幾何表示談起。18世紀末期，挪威測量學家威塞爾首次利用坐標平面上的點來表示複數a+bi（a,b為有理數，且不同時等於0），並利用具有幾何意義的複數運算來定義向量的運算。把坐標平面上的點用向量表示出來，並把向量的幾何表示用於研究幾何問題與三角問題。人們逐步接受了複數，也學會了利用複數來表示和研究平面中的向量，向量就這樣平靜地進入了數學中。

但複數的利用是受限制的，因為它僅能用於表示平面，若有不在同一平面上的力作用於同一物體，則需要尋找所謂三維「複數」以及相應的運算體系。19世紀中期，愛爾蘭數學家哈密爾頓發明了四元數（包括數量部分和向量部分），以代表空間的向量。他的工作為向量代數和向量分析的建立奠定了基礎．隨後，電磁理論的發現者，英國的數學物理學家麥克斯韋把四元數的數量部分和向量部分分開處理，從而創造了大量的向量分析。

三維向量分析的開創，以及同四元數的正式分裂，是英國的居伯斯和海維塞德於19世紀80年代各自獨立完成的。他們提出，一個向量不過是四元數的向量部分，但不獨立於任何四元數。他們引進了兩種類型的乘法，即數量積和向量積。並把向量代數推廣到變向量的向量微積分．從此，向量的方法被引進到分析和解析幾何中來，並逐步完善，成為了一套優良的數學工具。

一般印刷用黑體的小寫英文字母（a、b、c等）來表示，手寫用在a、b、c等字母上加一箭頭（→）表示，如

，也可以用大寫字母AB、CD上加一箭頭（→）等表示。

幾何表示

向量可以用有向線段來表示。有向線段的長度表示向量的大小，向量的大小，也就是向量的長度。長度為0的向量叫做零向量，記作長度等於1個單位的向量，叫做單位向量。箭頭所指的方向表示向量的方向。

坐標表示

的坐標。向量a稱為點P的位置向量。

在空間直角坐標系中，分別取與x軸、y軸，z軸方向相同的3個單位向量i，j，k作為一組基底。若為該坐標系內的任意向量，以坐標原點O為起點作向量a。由空間基本定理知，有且只有一組實數(x,y,z)，使得a=ix+jy+kz，因此把實數對(x,y,z)叫做向量a的坐標，記作a=(x,y,z)。這就是向量a的坐標表示。其中(x,y,z)，就是點P的坐標。向量a稱為點P的位置向量。

當然，對於多維的空間向量，可以通過類推得到，此略。

向量的矩陣表示

行列式的幾何意義

行列式的值是一個數字，表示向量所在空間的【元素】 大小。

比如，在平面直角坐標系中，整個平面可以由長寬均為1的方格構成，這個方格的大小為1。這個方格就是平面直角坐標系中的【元素】，大小為1。

平面坐標系中所有的點都可以用

這兩個向量來刻畫，這兩個向量也叫平面直角坐標空間的【標度】。

這兩向量構成的行列式

那麼，平面直角坐標系單元格大小，也就是【元素】大小為1的正方塊。

再比如，我們對平面直角坐標系拉伸，用如下兩個向量來刻畫

那麼，這個新坐標系（2維空間）的【元素】大小為2的長方塊。

再比如，我們對平面直角坐標系變形，用如下兩個向量來刻畫

那麼，這個新坐標系（2維空間）的【元素】大小為2的平行四邊形塊。

從以上3個例子，可以看出來：在2維空間中，兩個2維向量構成的的行列式的值，等同於兩個向量組成的平行四邊形面積大小。也就是說，在2維空間中，兩個2維向量構成的的行列式的值，等同於兩個2維向量的【叉積】。

進一步，看3維空間。

比如，在空間直角坐標系中，這個空間可以由長寬高均為1的正方體構成，這個正方體的大小為1。這個正方體就是空間直角坐標系（3維空間）中的【元素】，大小為1。

那麼可以看出來：在3維空間中，三個3維向量構成的的行列式的值，等同於三個3維向量的【混合積】。

由此，擴展到n維空間。在n維空間中，n個n維向量構成的行列式的值，表示n維向量所在的n維空間的【元素】 大小。同時，這n個n維向量也叫n維空間的【標度】。

的方向和長度。

具有方向和長度的線段叫做有向線段。

向量的模

向量的大小，也就是向量的長度(或稱模)。向量a的模記作|a|。

註：

1．向量的模是非負實數，向量的模是可以比較大小的。向量 。

2．因為方向不能比較大小，所以向量也就不能比較大小。對於向量來說「大於」和「小於」的概念是沒有意義的。例如

是沒有意義的。

單位向量

長度為一個單位（即模為1）的向量，叫做單位向量。與a同向，且長度為單位1的向量，叫做a方向上的單位向量，記作

。

負向量

如果向量AB與向量CD的模相等且方向相反，那麼我們把向量AB叫做向量CD的負向量，也稱為相反向量。

零向量

長度為0的向量叫做零向量，記作0。零向量的始點和終點重合，所以零向量沒有確定的方向，或說零向量的方向是任意的。

相等向量

長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a與b相等，記作a=b。

規定：所有的零向量都相等。

當用有向線段表示向量時，起點可以任意選取。任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，並且與有向線段的起點無關．同向且等長的有向線段都表示相同向量。

自由向量

始點不固定的向量，它可以任意的平行移動，而且移動後的向量仍然代表原來的向量。

在自由向量的意義下，相等的向量都看作是同一個向量。

數學中只研究自由向量。

滑動向量

沿着直線作用的向量稱為滑動向量。

固定向量

作用於一點的向量稱為固定向量（亦稱膠着向量）。

位置向量

對於坐標平面內的任意一點P，我們把向量OP叫做點P的位置向量，記作：向量P。

方向向量

直線l上的向量a以及與向量a共線的向量叫做直線l上的方向向量。

相反向量

與a長度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，記作-a，有 -(-a)=a，零向量的相反向量仍是零向量。

平行向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共線）向量．向量a、b平行（共線），記作a∥b。零向量長度為零，是起點與終點重合的向量，其方向不確定。我們規定：零向量與任一向量平行。平行於同一直線的一組向量是共線向量。

若a=(x,y)，b=(m,n)，則a//b→a×b=xn-ym=0

共面向量

平行於同一平面的三個（或多於三個）向量叫做共面向量。

空間中的向量有且只有以下兩種位置關係：⑴共面；⑵不共面。

注意：只有三個或三個以上向量才談共面不共面。

參考來源

「線性代數的本質」系列合集 01-向量究竟是什麼？