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1949年，關正傑生於 英屬香港；其後在聖保羅男女中學讀書時就與何國禧（香港電台電視節目《屋簷下》主題曲的主唱者）及兩位同學合組樂隊The Swinging Minstrels，以唱英語民歌為主。曾以Peter, Paul & Mary歌曲 《Man Come Into Egypt》參加星島晚報主辦的「第八屆全港業餘歌唱比賽」的歌唱合奏組，得到冠軍。同年又參加星報主辦的Talent Quest音樂比賽，得到亞軍。他第一次上的電視節目是黃霑在麗的映聲所主持的青年聯誼會，翌年與另一隊得獎者Garbriels合作灌錄了一張名為(Talent Time '67 Winners）的EP，翻唱了兩首Peter, Paul and Mary的歌曲，分別是（Early In The Morning）及（Settle Down）。1969年，他考進了香港大學建築系，接着以個人名義在EMI灌錄了一張單曲（Cecilia/Ain't That Rain），同期除了亮相蕭芳芳主持的（芳芳的旋律）外，也跟她合唱了一首（Little Green Apples），又在（香港電視）週刊寫專欄教彈古典結他。後來因升學關係，民歌隊解散。

1973年大學畢業後，關正傑成為建築師。自70年代中期起，他開始以業餘歌手身份為三家電視台演唱歌曲：麗的電視（始於1975年的音樂節目（視聽蔡和平）、佳藝電視（始於1976年（神鵰俠侶）的主題曲）、無線電視（始於1976年（近代豪俠傳）的主題曲），名曲有（變色龍）、（天蠶變）、（大地恩情）、（醉紅塵）、（萬水千山縱橫）、（倆忘煙水裏）（與關菊英合唱）等。1978年推出首張個人專輯，始後直至1987年，每年起碼發表一張專輯，當中也收錄了一些口碑不俗的非影視歌曲，如（天籟...星河傳說）、（常在我心間）（與黃露儀合唱）、（東方之珠）等。他還唱過不少公益歌曲，例如（一把聲音）（1985年香港區議會選舉主題曲）、（燃點的火光）(1985年國際青年年主題曲)、與盧冠廷及區瑞強合唱的（蚌的啟示）（1986年國際資訊年主題曲暨公民教育委員會宣傳歌）、引退前所唱的1988年香港區議會選舉主題曲（前途在你手裏）。

1982年，關正傑與管弦樂團合作，在灣仔伊利沙伯體育館（當時香港最大的表演場館）舉行首個個人演唱會。

他已絕跡樂壇多年，但（一點燭光）在殘障人士表達訴求時、燭光集會和賑災籌款晚會中仍可不時聽到；（倆忘煙水裏）仍然是經歷過那時代的人在卡拉OK的熱點歌；香港電台佛教節目（空中結緣）主題曲（緣）至今仍隨着節目定期播放。