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分配格

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'''分配格'''是一种组合构形,它是满足下述条件的格:对于格的任意元素x,y和z,均有x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z)。由于格中结运算和交运算的对称性,上述条件等价于x∨(y∧z)=(x∨y)∧(x∨z),当L为分配格时,交运算对于结运算满足分配律,而且反之亦真。布尔格、除数格、理想格、链等均为分配格。
=='''简介'''==
则称L为分配格,L6′和L6"是格论中最重要的[[恒等式]],称为分配恒等式或分配律,它们是戴德金(J.W.R.Dedekind)研究数域理想时发现的,格L是分配的当且仅当L不含菱形格和五边形格。1951年,肖兰德(M.Sholander)用两个恒等式:x∧(x∨y)=x和x∧(y∨z)=(z∧x)∨(y∧x)表征了分配格。分配格的对偶格、子格、直积仍是分配格。分配格的理论是格论的起源和基础,它对格论的研究、发展和应用起了重大的作用。图2给出的两个具有五个元素的不是分配格的格是很重要的,因为可以证明如下的结论:一个格是分配格的充要条件是该格中没有任何子格与图2给出的两个五元素中的任何一个同构应该注意的是,在分配格的定义中,必须是对任意的a,b,c∈S都要满足分配律。因此,决不能因验证格中的某些元素满足分配等式就断定这个格是分配格。
=='''评价'''==
分配格有类似模格的判定条件定理1 一个格S是分配格,当且仅当S中不含有与钻石格或五角格同构的子格。定理2 每个链是分配格。证明设偏序集(S,≼)是链。先证明(S,≼)是格。任取a,b∈S,根据链的定义,S中任意两个元素都有偏序关系,即a≼b或b≼a。不妨设a≼b,则a∨b=b,a∧b=a,所以a∨b∈S,a∧b∈S,从而(S,≼)是格。下面证明(S,≼)是分配格。任取a,b,c∈S,只要讨论以下两种情况:(1)b≼a且c≼a。在此情况下,有b∨c≼a,b∧c≼a,因此a∧(b∨c)=b∨c,a∨(b∧c)=a。又因为b≼a,c≼a,所以a∧b=b,a∧c=c,a∨b=a,a∨c=a,从而(a∧b)∨(a∧c)=b∨c,(a∨b)∧(a∨c)=a∧a=a。于是有a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c),a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨C)。(2)a≼b或a≼c。在此情形下,有a≼b∨C。不妨设a≼b,则a∧(b∨c)=a,且a∧b=a,于是有(a∧b)∨(a∧c)=a∨(a∧c)=口,从而a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)。又由a≼b可得a∨b=b,a∧b=a,从而(a∨b)∧(a∨c)=b∧(a∨c)=(b∧a)∨(b∧c)=a∨(b∧c)。综上所述,(S,≼)是分配格。定理3 设S是一个分配格,那么,对于任意的a,b,c∈S,如果有b∨b=a∨c和a∧b=a∧c成立,则必有b=c。证明:由于S是分配格,且已知a∨b=a∨c,a∧b=a∧c,因此b=b∧(a∨b)=b∧(a∨c)=(b∧a)∨(b∧c)=(a∧b)∨(b∧c)=(a∧c)V(b∧c)=(a∨b)∧c=(a∨c)∧c=c。即有b=c,定理得证。<ref>[https://zhuanlan.zhihu.com/p/171756902 分配格]搜狗</ref>
=='''参考文献'''==
41,228
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