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| 分配格 |
分配格是一種組合構形，它是滿足下述條件的格：對于格的任意元素x，y和z，均有x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z)。由于格中結運算和交運算的對稱性，上述條件等價於x∨(y∧z)=(x∨y)∧(x∨z)，當L為分配格時，交運算對於結運算滿足分配律，而且反之亦真。布爾格、除數格、理想格、鏈等均為分配格。
簡介
則稱L為分配格，L6′和L6"是格論中最重要的恆等式，稱為分配恆等式或分配律，它們是戴德金(J.W.R.Dedekind)研究數域理想時發現的，格L是分配的當且僅當L不含菱形格和五邊形格。1951年，肖蘭德(M.Sholander)用兩個恆等式：x∧(x∨y)=x和x∧(y∨z)=(z∧x)∨(y∧x)表徵了分配格。分配格的對偶格、子格、直積仍是分配格。分配格的理論是格論的起源和基礎，它對格論的研究、發展和應用起了重大的作用。圖2給出的兩個具有五個元素的不是分配格的格是很重要的，因為可以證明如下的結論：一個格是分配格的充要條件是該格中沒有任何子格與圖2給出的兩個五元素中的任何一個同構應該注意的是，在分配格的定義中，必須是對任意的a，b，c∈S都要滿足分配律。因此，決不能因驗證格中的某些元素滿足分配等式就斷定這個格是分配格。
評價
分配格有類似模格的判定條件定理1 一個格S是分配格，當且僅當S中不含有與鑽石格或五角格同構的子格。定理2 每個鏈是分配格。證明設偏序集(S，≼)是鏈。先證明(S，≼)是格。任取a，b∈S，根據鏈的定義，S中任意兩個元素都有偏序關係，即a≼b或b≼a。不妨設a≼b，則a∨b=b，a∧b=a，所以a∨b∈S，a∧b∈S，從而(S，≼)是格。下面證明(S，≼)是分配格。任取a，b，c∈S，只要討論以下兩種情況：(1)b≼a且c≼a。在此情況下，有b∨c≼a，b∧c≼a，因此a∧(b∨c)=b∨c，a∨(b∧c)=a。又因為b≼a，c≼a，所以a∧b=b，a∧c=c，a∨b=a，a∨c=a，從而(a∧b)∨(a∧c)=b∨c，(a∨b)∧(a∨c)=a∧a=a。於是有a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)，a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨C)。(2)a≼b或a≼c。在此情形下，有a≼b∨C。不妨設a≼b，則a∧(b∨c)=a，且a∧b=a，於是有(a∧b)∨(a∧c)=a∨(a∧c)=口，從而a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)。又由a≼b可得a∨b=b，a∧b=a，從而(a∨b)∧(a∨c)=b∧(a∨c)=(b∧a)∨(b∧c)=a∨(b∧c)。綜上所述，(S，≼)是分配格。定理3 設S是一個分配格，那麼，對於任意的a，b，c∈S，如果有b∨b=a∨c和a∧b=a∧c成立，則必有b=c。證明:由於S是分配格，且已知a∨b=a∨c，a∧b=a∧c，因此b=b∧(a∨b)=b∧(a∨c)=(b∧a)∨(b∧c)=(a∧b)∨(b∧c)=(a∧c)V(b∧c)=(a∨b)∧c=(a∨c)∧c=c。即有b=c，定理得證。[1]