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算符（operator），又稱算子，是物理學和數學中的一種運算符號，作用於物理系統的狀態空間，使物理系統從某種狀態變換為另一種狀態。在經典力學中，算符是研究對稱性與守恆定律的有用工具；在量子力學中，算符是理論表述不可或缺的核心要素。

在數學定義上，算符是函數集向函數集的映射，例如導數算符、微分算符等。在量子物理學中，算符作用於物理系統的物理態，使這個物理態變換為另一個物理態。常見的量子算符包括動量算符 p̂ = −iℏ∂/∂x、角動量算符 L̂ = r̂ × p̂、哈密頓算符 Ĥ 等，這些算符將某量子態映射為另一種量子態。

算符的基本性質

算符具有三個基本性質：線性、可交換性和完備性。線性算符滿足Â(c₁ψ₁ + c₂ψ₂) = c₁Âψ₁ + c₂Âψ₂，其中c₁、c₂是任意複常數，ψ₁、ψ₂是任意兩個波函數。線性保證了量子系統的疊加原理，即量子態可以表示為其他量子態的線性組合。

可交換性描述了算符之間的對易關係，對量子態的演化及物理量的測量有重要影響。若兩個算符Â和B̂滿足ÂB̂ = B̂Â，則稱它們是可對易的；否則它們是不可對易的，其對易子[Â, B̂] = ÂB̂ − B̂Â 不為零。完備性要求量子力學中所有的可觀察量都可以通過一組算符完備地描述。

算符的應用

在經典力學中，算符用於研究[[對稱對稱性和[[守恆守恆定律。若拉格朗日量或哈密頓量與某廣義坐標無關，則對應的共軛動量守恆，這種動力學行為的不變性即是一種對稱性，算符為研究此類課題提供了有力的數學工具。

在[[量子量子力學中，算符的應用更為廣泛。[[哈密哈密頓算符描述量子系統的能量演化，是薛丁格方程的核心；[[角動角動量算符用於分析原子光譜和分子結構；自旋算符描述粒子的內稟角動量；升降算符用於求解量子諧振子的能級。算符理論還在量子計算、量子信息、量子場論等領域有重要應用，為解決經典計算難以處理的問題提供了新途徑。