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永田環是指凡擬優環皆為永田環，所以代數幾何中處理的環幾乎都是永田環。是諾特整環而非永田環的例子首先由秋月康夫於1935年給出。

簡介

設R是一個諾特環，如果對 R 的任意素理想p ，整環 R/p 具有性質：對 R/p 的商域的任意有限擴域 K ，R/p 在 K 中的整閉包都是有限生成的 R/p 模，則稱 R是永田環。當 R 是永田環時，R 的局部化環和有限 R 代數也是永田環。

完備的諾特局部環是永田環。

整環

在交換代數中，可以根據整閉包的有限性將整環分成數類。以下均假設A為一整環。

A被稱作N-1 環，當且僅當其在分式域K中的整閉包是有限A-模。A被稱作N-2 環（或日本環，以紀念日本學派在此領域之貢獻），當且僅當對任何有限擴張L/K，A在L中的整閉包是有限A-模。A被稱作泛日本環，當且僅當A上任何有限生成的整環都是日本環。 一個泛日本環A被稱作永田環（或擬幾何環），當且僅當A也是諾特環時。 註：一個代數簇的局部環或其完備化稱作幾何環，但此概念並不流行。

諾特環

在數學中，更具體地在抽象代數領域被稱為環形理論。諾特環(Noetherian ring)是抽象代數中一類滿足升鏈條件的環。希爾伯特(Hilbert)首先在研究不變量理論時證明了多項式環的每個理想都是有限生成的，隨後德國數學家埃米·諾特(Emmy Noether)從中提煉出升鏈條件，諾特環由此命名。

視頻

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