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在數學中，有限元法（FEM，Finite Element Method）是一種為求解偏微分方程邊值問題近似解的數值技術。求解時對整個問題區域進行分解，每個子區域都成為簡單的部分，這種簡單部分就稱作有限元。

它通過變分方法，使得誤差函數達到最小值並產生穩定解。類比於連接多段微小直線逼近圓的思想，有限元法包含了一切可能的方法，這些方法將許多被稱為有限元的小區域上的簡單方程聯繫起來，並用其去估計更大區域上的複雜方程。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對每一單元假定一個合適的（較簡單的）近似解，然後推導求解這個域總的滿足條件（如結構的平衡條件），從而得到問題的解。這個解不是準確解，而是近似解，因為實際問題被較簡單的問題所代替。由於大多數實際問題難以得到準確解，而有限元不僅計算精度高，而且能適應各種複雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。

中文名:有限元

外文名:Finite Element

所屬領域:數學

應用學科:數學

方 法:有限元法

應用範圍:熱傳導 電磁學 土力學

國內發展:馮康先生在50年代提出

計算簡介

英文：Finite Element

有限單元法是隨着電子計算機的發展而迅速發展起來的一種現代計算方法。它是50年代首先在連續體力學領域—飛機結構靜、動態特性分析中應用的一種有效的數值分析方法，隨後很快廣泛地應用於求解熱傳導、電磁場、流體力學等連續性問題。

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方法

有限元法分析計算的思路和做法可歸納如下：

物體離散化

將某個工程結構離散為由各種單元組成的計算模型，這一步稱作單元剖分。離散後單元與單元之間利用單元的節點相互連接起來；單元節點的設置、性質、數目等應視問題的性質，描述變形形態的需要和計算精度而定（一般情況單元劃分越細則描述變形情況越精確，即越接近實際變形，但計算量越大）。所以有限元中分析的結構已不是原有的物體或結構物，而是同新材料的由眾多單元以一定方式連接成的離散物體。這樣，用有限元分析計算所獲得的結果只是近似的。如果劃分單元數目非常多而又合理，則所獲得的結果就與實際情況相符合。

選擇位移模式

在有限單元法中，選擇節點位移作為基本未知量時稱為位移法；選擇節點力作為基本未知量時稱為力法；取一部分節點力和一部分節點位移作為基本未知量時稱為混合法。位移法易於實現計算自動化，所以，在有限單元法中位移法應用範圍最廣。

當採用位移法時，物體或結構物離散化之後，就可把單元總的一些物理量如位移，應變和應力等由節點位移來表示。這時可以對單元中位移的分布採用一些能逼近原函數的近似函數予以描述。通常，有限元法我們就將位移表示為坐標變量的簡單函數，這種函數稱為位移模式或位移函數。

分析力學性質

根據單元的材料性質、形狀、尺寸、節點數目、位置及其含義等，找出單元節點力和節點位移的關係式，這是單元分析中的關鍵一步。此時需要應用彈性力學中的幾何方程和物理方程來建立力和位移的方程式，從而導出單元剛度矩陣，這是有限元法的基本步驟之一。

等效節點力

物體離散化後，假定力是通過節點從一個單元傳遞到另一個單元。但是，對於實際的連續體，力是從單元的公共邊傳遞到另一個單元中去的。因而，這種作用在單元邊界上的表面力、體積力和集中力都需要等效的移到節點上去，也就是用等效的節點力來代替所有作用在單元上的力。

單元組集

定義

利用結構力學的平衡條件和邊界條件把各個單元按原來的結構重新連接起來，形成整體的有限元方程。

含義

K是整體結構的剛度矩陣；q是節點位移列陣；f是載荷列陣。

求解

解有限元方程式得出位移。這裡，可以根據方程組的具體特點來選擇合適的計算方法。

通過上述分析，可以看出，有限單元法的基本思想是"一分一合"，分是為了就進行單元分析，合則為了對整體結構進行綜合分析。

發展概況

943年 courant在論文中取定義在三角形域上分片連續函數，利用最小勢能原理研究St.Venant的扭轉問題。

1960年 clough的平面彈性論文中用「有限元法」這個名稱。

1965年馮康發表了論文「基於變分原理的差分格式」，這篇論文是國際學術界承認我國獨立發展有限元方法的主要依據 1970年 隨着計算機和軟件的發展，有限元發展起來。

1975年 謝干權發表論文「三維彈性問題的有限單元法」，標誌着我國學者在與世隔絕的情況下，獨立發展出真正能應用於三維實踐的有限元方法和有限元工程軟件 。文中還在全世界率先得到了三維有限元的超收斂結果。

涉及的內容

有限元所依據的理論，單元的劃分原則，形狀函數的選取及協調性。

限元法涉及

數值計算方法及其誤差、收斂性和穩定性。

應用範圍

固體力學、流體力學、熱傳導、電磁學、聲學、生物力學

求解的情況

杆、梁、板、殼、塊體等各類單元構成的彈性（線性和非線性）、彈塑性或塑性問題（包括靜力和動力問題）。能求解各類場分布問題（流體場、溫度場、電磁場等的穩態和瞬態問題），水流管路、電路、潤滑、噪聲以及固體、流體、溫度相互作用的問題。