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对称是几何形状、系统、方程以及其他实际上或概念上之客体的一种特征-典型地,对象的一半为其另一半的镜射。

在数理上,如果称一个几何图形或物体为对称的话,即表示它是变形的不变量,而对称一词亦包含在此定义之中。若两个物体称为互相对称时,即表示其中一者的形状经几何分割后,在不变更整体形状的情况下,可以将分割片段重组为另一者,且反之亦然。

对称亦可在人类与其他动物等生物体中发现[1](见如下之生物内的对称)。在二维几何中,较有趣味的几种主要的对称为相对于基本之欧几里得空间等距的:平移、旋转、镜射及滑移镜射。

镜射对称

镜射对称,或称镜面对称,为一相对于镜射的对称性。

在二维里有一对称的轴,而在三维里则有一对称的平面。一对象或像貌和其变换的像为不可分时,即称此为镜面对称的。

二维对象的对称轴是一条线,因此又称轴对称或线对称。任何落在同一条和对称轴垂直的线,且距对称轴有同样距离的两点,都会是相等的。另一种思考的方式为,若沿着轴将整个二维对象对折,则其两个一半将完全吻合在一起:这两个一半分别是其另一个的镜像。所以正方形有四个对称轴,因为有四种不同的方式可以将其边角吻合地对折起来。一个圆有无限多个对称轴,也是基于同一个理由。

若字母T沿着一垂直轴镜射,其样子会是一样的。注意这有时称做水平对称,有时又称做垂直对称。故最好使用一个不模棱的说法,即“T有一垂直对称轴”。

具有对称性的三角形为等腰三角形,具有对称性的四方形为鸢形和等腰梯形。

对镜射的线或平面而言,其对称群是同构于Cs的(见三维空间的点群),三种order two的其中一种,因此代数地为C2。其基本域为半平面或半空间。

两侧对称动物(包括人类)或多或少都有着对矢状切面的对称。

在某些文章中,镜射对称是指旋转对称而镜面对称则等价于反演对称;在当代物理中的此类文章中,P-对称此一名词被使用在两种意义上(P指parity(对偶))。

对于更广泛种类的镜射,存在着相对应的更广泛种类的镜射对称。例如:

对应于非等距同构仿射对合(一在线和平面上等的斜镜射)。

对应于反演。

旋转对称

旋转对称是对应于m维欧几里得空间内某些或所有旋转的对称。旋转为一直接等距同构,即保持定向的等距同构。因此,旋转对称的对称群为E+(m)的子群。(见欧几里得群)

绕所有的所有旋转的对称表示著对应着所有平移的平移对称,且其对称群为整个E+(m)。这不可以应用在对象上,因为它让整个空间变均匀,但它可能可以应用在物理定律上。

对于绕一点旋转的对称,可以将此点取为原点。这些旋转形成了特殊正交群SO(m),行列式为1的m×m正交矩阵所组成的群。m=3时,其为旋转群。

在此字的另一个意思里,一对象的旋转群是E+(n)内的对称群;换句话说,是全对称群与直接等距同构群的交集。对于手征对象而言,这和全对称群是一样的。

物理定律若是SO(3)-不变的,即表示它们不会因在空间的方向不同而有不同。根据诺特定理[2],一物理系统的旋转对称是等价于角动量守恒定律。详见旋转不变性。

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参考文献