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對稱是幾何形狀、系統、方程以及其他實際上或概念上之客體的一種特徵-典型地,對象的一半為其另一半的鏡射。

在數理上,如果稱一個幾何圖形或物體為對稱的話,即表示它是變形的不變量,而對稱一詞亦包含在此定義之中。若兩個物體稱為互相對稱時,即表示其中一者的形狀經幾何分割後,在不變更整體形狀的情況下,可以將分割片段重組為另一者,且反之亦然。

對稱亦可在人類與其他動物等生物體中發現[1](見如下之生物內的對稱)。在二維幾何中,較有趣味的幾種主要的對稱為相對於基本之歐幾里得空間等距的:平移、旋轉、鏡射及滑移鏡射。

鏡射對稱

鏡射對稱,或稱鏡面對稱,為一相對於鏡射的對稱性。

在二維里有一對稱的軸,而在三維里則有一對稱的平面。一對象或像貌和其變換的像為不可分時,即稱此為鏡面對稱的。

二維對象的對稱軸是一條線,因此又稱軸對稱或線對稱。任何落在同一條和對稱軸垂直的線,且距對稱軸有同樣距離的兩點,都會是相等的。另一種思考的方式為,若沿着軸將整個二維對象對摺,則其兩個一半將完全吻合在一起:這兩個一半分別是其另一個的鏡像。所以正方形有四個對稱軸,因為有四種不同的方式可以將其邊角吻合地對摺起來。一個圓有無限多個對稱軸,也是基於同一個理由。

若字母T沿着一垂直軸鏡射,其樣子會是一樣的。注意這有時稱做水平對稱,有時又稱做垂直對稱。故最好使用一個不模稜的說法,即「T有一垂直對稱軸」。

具有對稱性的三角形為等腰三角形,具有對稱性的四方形為鳶形和等腰梯形。

對鏡射的線或平面而言,其對稱群是同構於Cs的(見三維空間的點群),三種order two的其中一種,因此代數地為C2。其基本域為半平面或半空間。

兩側對稱動物(包括人類)或多或少都有着對矢狀切面的對稱。

在某些文章中,鏡射對稱是指旋轉對稱而鏡面對稱則等價於反演對稱;在當代物理中的此類文章中,P-對稱此一名詞被使用在兩種意義上(P指parity(對偶))。

對於更廣泛種類的鏡射,存在着相對應的更廣泛種類的鏡射對稱。例如:

對應於非等距同構仿射對合(一在線和平面上等的斜鏡射)。

對應於反演。

旋轉對稱

旋轉對稱是對應於m維歐幾里得空間內某些或所有旋轉的對稱。旋轉為一直接等距同構,即保持定向的等距同構。因此,旋轉對稱的對稱群為E+(m)的子群。(見歐幾里得群)

繞所有的所有旋轉的對稱表示著對應着所有平移的平移對稱,且其對稱群為整個E+(m)。這不可以應用在對象上,因為它讓整個空間變均勻,但它可能可以應用在物理定律上。

對於繞一點旋轉的對稱,可以將此點取為原點。這些旋轉形成了特殊正交群SO(m),行列式為1的m×m正交矩陣所組成的群。m=3時,其為旋轉群。

在此字的另一個意思里,一對象的旋轉群是E+(n)內的對稱群;換句話說,是全對稱群與直接等距同構群的交集。對於手征對象而言,這和全對稱群是一樣的。

物理定律若是SO(3)-不變的,即表示它們不會因在空間的方向不同而有不同。根據諾特定理[2],一物理系統的旋轉對稱是等價於角動量守恆定律。詳見旋轉不變性。

視頻

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參考文獻