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File:Hypercube.svg
超立方體是6個四維凸正多胞體之一

數學中,四維凸正多胞體(Convex Regular Polychoron)是指一類既是凸的又是正的的四維多胞體。它們是柏拉圖立體(正多面體)(三維)和正多邊形(二維)的四維類比。它們最先在19世紀被數學家路德維希·施萊夫利所發現,其中五個與五個柏拉圖立體一一對應,另外一個(正二十四胞體)沒有好的三維類比。
每個四維凸正多胞體必須有同種的同樣大小的凸正多面體胞面面相接構成,並且每個頂點周圍必須有相同數量的胞。

特性

下面的表格描述了六個四維凸正多胞體的基本特性,表格的最後一列給出了它們所屬的考克斯特群,形象化描述了它們在一系列鏡面反射中的抽象群;及這個群的

名稱 家族 施萊夫利
符號
頂點 頂點圖 對偶 對稱群
正五胞體
超稜錐
超正四面體
四維單純形
單純形
(n-單純形)
{3,3,3} 5 10 10
正三角形
5
正四面體
正四面體 (自身對偶) A4 120
正八胞體
超正方體
超立方體
四維立方體
立方形
(n-立方形)
{4,3,3} 16 32 24
正四邊形
8
正六面體
正四面體 正十六胞體 B4 384
正十六胞體
超正八面體
四維正軸形
正軸形
(n-正軸形)
{3,3,4} 8 24 32
正三角形
16
正四面體
正八面體 正八胞體 B4 384
正二十四胞體
截半正十六胞體
重正八面體
(沒有好的其他維度類比) {3,4,3} 24 96 96
正三角形
24
正八面體
正六面體 (自身對偶) F4 1152
正一百二十胞體
超正十二面體
重正十二面體
正十二面體形
正五邊形形
(n-正五邊形形)
{5,3,3} 600 1200 720
正五邊形
120
正十二面體
正四面體 正六百胞體 H4 14400
正六百胞體
重正四面體
超正二十面體
正二十面體形
正五邊形形
(n-正五邊形形)
{3,3,5} 120 720 1200
正三角形
600
正四面體
正二十面體 正一百二十胞體 H4 14400

這6個四維凸正多胞體都是表面與三維球面(S3)同胚的單連通多胞體,所以它們的歐拉示性數都為0,因此我們有以下歐拉公式的四維類比:

<math>V - E + F - C = 0\,</math>

其中V代表零維頂點數,E代表一維棱數,F代表二維面數,C代表三維胞數。

可視化

以下的表格展示了6個四維凸正多胞體的多種二維投影(更多圖像可以在各自的頁面里找到)。表頭給出了多胞體的施萊夫利符號考克斯特符號Coxeter-Dynkin digram

正五胞體 正八胞體 正十六胞體 正二十四胞體 正一百二十胞體 正六百胞體
{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}
Template:CDD Template:CDD Template:CDD Template:CDD Template:CDD Template:CDD
皮特里多邊形正對的正交線架投影.
105px 105px 105px 105px 105px 105px
三維固體填充正交投影
105px
正四面體
凸包

(胞在前/頂點在前)
105px
立方體凸包
(胞在前)
105px
立方體凸包
(胞在前)
105px
截半立方體
凸包

(胞在前)
105px
截頂菱形
三十面體
凸包

(胞在前)
105px
五角化截半
十二面體
凸包

(頂點在前)
線架施萊格爾投影 (透視投影)
105px
(胞在前)
105px
(胞在前)
105px
(胞在前)
105px
(胞在前)
105px
(胞在前)
105px
(頂點在前)
線架球極投影 (四維超球球極投影)
105px 105px 105px 105px 105px 105px

參考

  • H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, 2nd ed., John Wiley & Sons Inc., 1969. ISBN 0-471-50458-0.
  • H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8.
  • D. M. Y. Sommerville, An Introduction to the Geometry of n Dimensions. New York, E. P. Dutton, 1930. 196 pp. (Dover Publications edition, 1958) Chapter X: The Regular Polytopes

外部鏈接

Wolfram Mathword中的解釋

Template:四維正多胞體

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