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| 哥德爾不完全性定理 |
哥德爾是奧地利裔美國著名數學家，不完備性定理是他在1931年提出來的。這一理論使數學基礎研究發生了劃時代的變化，更是現代邏輯史上很重要的一座里程碑。該定理與塔爾斯基的形式語言的真理論，圖靈機和判定問題，被讚譽為現代邏輯科學在哲學方面的三大成果。哥德爾證明了任何一個形式系統，只要包括了簡單的初等數論描述，而且是自洽的，它必定包含某些系統內所允許的方法既不能證明真也不能證偽的命題。
簡介
哥德爾是奧地利裔美國著名數學家，不完備性定理是他在1931年提出來的。這一理論使數學基礎研究發生了劃時代的變化，更是現代邏輯史上很重要的一座里程碑。該定理與塔爾斯基的形式語言的真理論，圖靈機和判定問題，被讚譽為現代邏輯科學在哲學方面的三大成果。哥德爾證明了任何一個形式系統，只要包括了簡單的初等數論描述，而且是自洽的，它必定包含某些系統內所允許的方法既不能證明真也不能證偽的命題。哥德爾是20世紀最偉大的數學家和邏輯學家。在邏輯學中的地位，一般都將他與亞里士多德和萊布尼茲相比；在數學中的地位，愛因斯坦把哥德爾的貢獻與他本人對物理學的貢獻相提並論。1952年6月美國哈佛大學授予哥德爾榮譽理學學位時，稱他為「20世紀最有意義的數學真理的發現者」。在哥德爾所發現的被稱為「20世紀最有意義的數學真理」當中，最傑出、最具有有代表性、最有震撼力的是哥德爾不完全性定理。
評價
希爾伯特的計劃也確實有一定的進展，幾乎全世界的數學家都樂觀地看着數學大廈即將竣工。正當一切都越來越明朗之際，突然一聲晴天霹靂。1931年，在希爾伯特提出計劃不到3年，年輕的哥德爾就使希爾伯特的夢想變成了令人沮喪的噩夢。哥德爾證明：任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術的陳述，則必定存在一個不可判定命題，用這組公理不能判定其真假。也就是說，「無矛盾」和「完備」是不能同時滿足的！這便是聞名於世的哥德爾不完全性定理該定理並不意味着任何有意義的公理系統都是不完備的。該定理需假設公理系統可以「定義」自然數。不過並非所有系統都能定義自然數，就算這些系統擁有包括自然數作為子集的模型。例如，歐幾里得幾何可以被一階公理化為一個完備的系統（事實上，歐幾里得的原創公理集已經非常接近於完備的系統。所缺少的公理是非常直觀的，以至於直到出現了形式化證明之後才注意到需要它們），塔爾斯基（Tarski）證明了實數和複數理論都是完備的一階公理化系統。這理論用在人工智能上，則指出有些道理可能是我們能夠判別，但機器單純用一階公理化系統斷卻無法得知的道理。不過機器可以用非一階公理化系統，例如實驗、經驗。[1]