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公因

公因,指定兩個或兩個以上的整數,如果有一個整數是它們共同的因數,那麼這個數就叫做它們的公因數,也可以說成"公約數"。公因數中最大一個的稱為最大公因數,又稱作最大公約數。

釋義

給定若干個整數,如果有一個(些)數是它們共同的因數,那麼這個(些)數就叫做它們的公因數。而全部公因數中最大的那個,稱為這些整數的最大公因數。

例如:

1. 對任意的若干個整數,1總是它們的公因數。[1]

2. 對於30,40,120,它們的公因數有±1、±2、±5、±10。而10是當中最大的一個,所以10是最大公因數。

公因1.jpg

概念簡介

公因數,又稱公約數。在數論的敘述中,如果n和d都是整數,而且存在某個整數c,使得n = cd,就說d是n的一個因數,或說n是d的一個倍數,記作d|n(讀作d整除n)。如果d|a且d|b,我們就稱d是a和b的一個公因數。根據裴蜀定理,對每一對整數a,b,都有一個公因數d,使得d = ax+by,其中x和y是某些整數,並且a和b的每一個公因數都能整除這個d。於是d的絕對值叫做最大公因數

求幾個整數的最大公因數,只要把它們的所有共有的質因數連乘,所得的積就是它們的最大公因數。什麼叫公倍數?

常見應用

一般題目

試卷上會讓你去求某若干個數的最大公因數。

例:

12和18的最大公因數

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12的因數有:±1、±2、±3、±4、±6、±12

18的因數有:±1、±2、±3、±6、±9、±18

12和18的公因數有:±1、±2、±3、±6,而最大的數是6,最大公因數也就是6了!

計算方法

1.倍數關係

若較大數是較小數的倍數,那麼較小數是這兩個數的最大公因數。

2.互質關係

公因數只有±1的兩個數,叫互質數。例如,5和7是互質數。

1是任何整數的因數。

題目只會讓你求最大公因數,最小必定是1(0與負數除外)

參考來源