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中文名: 方程 | 中文名: 方程 | ||
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| − | '''方程'''（equation）是指含有未知数的等式。是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。求方程的解的过程称为“解方程”。 | + | '''方程'''（equation）是指含有未知数的等式。是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，使等式成立的[[ 未知数]] 的值称为“解”或“根”。求方程的解的过程称为“解方程”。 |
| − | 通过方程求解可以免去逆向思考的不易，直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。方程具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等等，还可组成方程组求解多个未知数。 | + | 通过方程求解可以免去逆向思考的不易，直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。方程具有多种形式，如一元一次方程、[[ 二元一次方程]] 、一元二次方程等等，还可组成方程组求解多个未知数。 |
| − | 在数学中，一个方程是一个包含一个或多个变量的等式的语句。 求解等式包括确定变量的哪些值使得等式成立。 变量也称为未知数，并且满足相等性的未知数的值称为等式的解。<ref>[ ], , --</ref> | + | 在数学中，一个方程是一个包含一个或多个变量的等式的语句。 求解等式[[ 包括]] 确定变量的哪些值使得等式成立。 变量也称为未知数，并且满足相等性的未知数的值称为等式的解。<ref>[https://www.360kuai.com/pc/9b382a061218300ce?cota=3&kuai_so=1&sign=360_7bc3b157&refer_scene=so_55 方程√(x+3)+√(x+1)=2的计算], 快资讯 , 2022-03-08</ref> |
| − | 早在3600年前，古埃及人写在草纸上的数学问题中，就涉及了方程中含有未知数的等式。 | + | 早在3600年前，古埃及人写在草纸上的[[ 数学]] 问题中，就涉及了方程中含有未知数的等式。 |
公元825年左右，中亚细亚的数学家阿尔·花拉子米曾写过一本名叫《[[对消与还原]]》的书，重点讨论方程的解法。 | 公元825年左右，中亚细亚的数学家阿尔·花拉子米曾写过一本名叫《[[对消与还原]]》的书，重点讨论方程的解法。 | ||
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==定义== | ==定义== | ||
| − | 方程是含有未知数的等式，这是小学教材中的逻辑定义，而含未知数的等式严格说不一定是方程，如0x=0。方程严格定义如下: | + | 方程是含有未知数的等式，这是小学教材中的[[ 逻辑]] 定义，而含未知数的等式严格说不一定是方程，如0x=0。方程严格定义如下: |
形如 是在定义域的交集内研究的两个解析式，且至少有一个不是常数。 | 形如 是在定义域的交集内研究的两个解析式，且至少有一个不是常数。 | ||
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1+1=2 ，100×100=10000。这两个式子符合等式，但没有未知数，所以都不是方程。 | 1+1=2 ，100×100=10000。这两个式子符合等式，但没有未知数，所以都不是方程。 | ||
| − | 在定义中，方程一定是等式，但是等式可以有其他的，比如上面举的1+1=2，100×100=10000，都是等式，显然等式的范围大一点。 | + | 在定义中，方程一定是等式，但是等式可以有其他的，比如上面举的1+1=2，100×100=10000，都是等式，显然等式的[[ 范围]] 大一点。 |
==解方程依据== | ==解方程依据== | ||
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1.移项变号：把方程中的某些项带着前面的符号从方程的一边移到另一边，并且加变减，减变加，乘变除以，除以变乘； | 1.移项变号：把方程中的某些项带着前面的符号从方程的一边移到另一边，并且加变减，减变加，乘变除以，除以变乘； | ||
| − | 2.等式的基本性质 | + | 2.等式的基本[[ 性质]] |
性质1 | 性质1 | ||
| − | 等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式。则：(1) | + | 等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。用[[ 字母]] 表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式。则：(1) |
性质2 | 性质2 | ||
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==解方程步骤== | ==解方程步骤== | ||
| − | 方法一：1.能计算的先计算； 2.转化——计算——结果 | + | 方法一：1.能计算的先[[ 计算]] ； 2.转化——计算——结果 |
方法二：从前往后算，算到只剩一个数时便可直接计算。 | 方法二：从前往后算，算到只剩一个数时便可直接计算。 | ||
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==微分方程== | ==微分方程== | ||
| − | 微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。详见微分方程 | + | 微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的[[ 函数]] 。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。详见微分方程 |
| − | 微分方程是将一些函数与其导数相关联的数学方程。在应用中，函数通常表示物理量，衍生物表示其变化率，方程定义了两者之间的关系。因为这种关系是非常常见的，微分方程在包括工程，物理，经济学和生物学在内的许多学科中起着突出的作用。 | + | 微分方程是将一些函数与其导数相关联的数学方程。在应用中，函数通常表示[[ 物理]] 量，衍生物表示其变化率，方程定义了两者之间的关系。因为这种关系是非常常见的，微分方程在包括工程，物理，经济学和生物学在内的许多学科中起着突出的作用。 |
| − | 在纯数学中，微分方程从几个不同的角度进行研究，主要涉及到它们的解 - 满足方程的函数集。只有最简单的微分方程可以通过显式公式求解;然而，可以确定给定微分方程的解的一些性质而不找到其确切形式。 | + | 在纯数学中，微分方程从几个不同的角度进行研究，主要涉及到它们的解 - 满足方程的函数集。只有最简单的微分方程可以通过显式[[ 公式]] 求解;然而，可以确定给定微分方程的解的一些性质而不找到其确切形式。 |
| − | 如果解决方案的自包含公式不可用，则可以使用计算机数值近似解决方案。动力系统理论强调了微分方程描述的系统的定性分析，而已经开发了许多数值方法来确定具有给定精确度的解决方案。 | + | 如果解决方案的自包含公式不可用，则可以使用计算机数值近似解决方案。动力系统理论强调了微分方程描述的系统的定性[[ 分析]] ，而已经开发了许多数值方法来确定具有给定精确度的解决方案。 |
==普通微分方程== | ==普通微分方程== | ||
| − | 普通微分方程或ODE是包含一个独立变量及其导数的函数的方程式。与“偏微分方程”相比，术语“普通”与对于多于一个的独立变量相关。 | + | 普通微分方程或ODE是包含一个独立变量及其导数的函数的[[ 方程式]] 。与“偏微分方程”相比，术语“普通”与对于多于一个的独立变量相关。 |
| − | 具有可以被加上和乘以系数的解的线性微分方程被明确定义和理解，并且获得精确的闭合形式的解。相比之下，缺乏添加剂解决方案的ODE是非线性的，解决它们是非常复杂的，因为很少以封闭形式的基本函数表示它们：相反，ODE的精确和分析解决方案是串联或整体形式。通过手动或计算机应用的图形和数值方法可以近似ODE的解，并且可能产生有用的信息，通常在没有精确的解析解的情况下就足够了。 | + | 具有可以被加上和乘以系数的解的线性微分方程被明确定义和[[ 理解]] ，并且获得精确的闭合形式的解。相比之下，缺乏添加剂解决方案的ODE是非线性的，解决它们是非常复杂的，因为很少以封闭形式的基本函数表示它们：相反，ODE的精确和分析解决方案是串联或整体形式。通过手动或计算机应用的[[ 图形]] 和数值方法可以近似ODE的解，并且可能产生有用的信息，通常在没有精确的解析解的情况下就足够了。 |
==偏微分方程== | ==偏微分方程== | ||
| − | 偏微分方程（PDE）是包含未知多变量函数及其偏导数的微分方程。 （这与处理单个变量及其派生词的函数的普通微分方程相反）。PDE用于制定涉及几个变量的函数的问题，或者手动解决或用于创建相关的计算机模型。 | + | 偏微分方程（PDE）是包含未知多变量函数及其偏[[ 导数]] 的微分方程。 （这与处理单个变量及其派生词的函数的普通微分方程相反）。PDE用于制定涉及几个变量的函数的问题，或者手动解决或用于创建相关的计算机模型。 |
| − | PDE可用于描述各种各样的现象，如声，热，静电，电动力学，流体流动，弹性或量子力学。这些看似不同的物理现象可以在PDE方面类似地形式化。正如普通微分方程常常模拟一维动力学系统一样，偏微分方程通常模拟多维系统。 PDEs在随机偏微分方程中找到它们的泛化。 | + | PDE可用于描述各种各样的现象，如声，热，静电，电动力学，流体流动，弹性或量子力学。这些看似不同的[[ 物理]] 现象可以在PDE方面类似地形式化。正如普通微分方程常常模拟一维动力学系统一样，偏微分方程通常模拟多维系统。 PDEs在随机偏微分[[ 方程]] 中找到它们的泛化。 |
== 参考来源 == | == 参考来源 == | ||
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於 2022年4月14日 (四) 15:07 的最新修訂
| 方程 |
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中文名: 方程 外文名: equation 定 義: 含有未知數的等式 所屬學科: 數學 應用領域: 數學、科學等 拼 音: fāng chéng 發明者: 法國數學家韋達 形 式: 一元一次方程、一元二次方程等 |
方程（equation）是指含有未知數的等式。是表示兩個數學式（如兩個數、函數、量、運算）之間相等關係的一種等式，使等式成立的未知數的值稱為「解」或「根」。求方程的解的過程稱為「解方程」。
通過方程求解可以免去逆向思考的不易，直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。方程具有多種形式，如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等等，還可組成方程組求解多個未知數。
在數學中，一個方程是一個包含一個或多個變量的等式的語句。 求解等式包括確定變量的哪些值使得等式成立。 變量也稱為未知數，並且滿足相等性的未知數的值稱為等式的解。[1]
早在3600年前，古埃及人寫在草紙上的數學問題中，就涉及了方程中含有未知數的等式。
公元825年左右，中亞細亞的數學家阿爾·花拉子米曾寫過一本名叫《對消與還原》的書，重點討論方程的解法。
名稱
方程中文一詞出自古代數學專著《九章算術》，其第八卷即名「方程」。「方」意為並列，「程」意為用算籌表示豎式。
卷第八（一）為：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？（現今有上等黍3捆、中等黍2捆、下等黍1捆，打出的黍共有39斗；有上等黍2捆、中等黍3捆、下等黍1捆，打出的黍共有34斗；有上等黍1捆、中等黍2捆、下等黍3捆，打出的黍共有26斗。問1捆上等黍、1捆中等黍、1捆下等黍各能打出多少斗黍？）
答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一，中禾一秉，四斗、四分斗之一，下禾一秉，二斗、四分斗之三。
方程術曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。余如中禾秉數而一，即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。余如上禾秉數而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。
以上是出自《九章算術》中的三元一次方程組，並展示了用「遍乘直除」來消元以解此方程組。
魏晉時期的大數學家劉徽在公元263年前後為《九章算術》作了大量注釋，介紹了方程組：二物者再程，三物者三程，皆如物數程之。並列為行，故謂之方程。他還創立了比「遍乘直除」更簡便的「互乘相消」法來解方程組。
定義
方程是含有未知數的等式，這是小學教材中的邏輯定義，而含未知數的等式嚴格說不一定是方程，如0x=0。方程嚴格定義如下:
形如 是在定義域的交集內研究的兩個解析式，且至少有一個不是常數。
方程與等式的關係
方程一定是等式，但等式不一定是方程。
例子：a+b=13 符合等式，有未知數。這個是等式，也是方程。
1+1=2 ，100×100=10000。這兩個式子符合等式，但沒有未知數，所以都不是方程。
在定義中，方程一定是等式，但是等式可以有其他的，比如上面舉的1+1=2，100×100=10000，都是等式，顯然等式的範圍大一點。
解方程依據
1.移項變號：把方程中的某些項帶着前面的符號從方程的一邊移到另一邊，並且加變減，減變加，乘變除以，除以變乘；
2.等式的基本性質
性質1
等式兩邊同時加(或減)同一個數或同一個代數式，所得的結果仍是等式。用字母表示為：若a=b，c為一個數或一個代數式。則：(1)
性質2
等式的兩邊同時乘或除以同一個不為0的數,所得的結果仍是等式。
用字母表示為：若a=b，c為一個數或一個代數式（不為0）。則：
a×c=b×c 或
性質3
若a=b,則b=a（等式的對稱性）。
性質4
若a=b,b=c則a=c（等式的傳遞性）。
解方程步驟
方法一：1.能計算的先計算； 2.轉化——計算——結果
方法二：從前往後算，算到只剩一個數時便可直接計算。
微分方程
微分方程指描述未知函數的導數與自變量之間的關係的方程。微分方程的解是一個符合方程的函數。而在初等數學的代數方程，其解是常數值。詳見微分方程
微分方程是將一些函數與其導數相關聯的數學方程。在應用中，函數通常表示物理量，衍生物表示其變化率，方程定義了兩者之間的關係。因為這種關係是非常常見的，微分方程在包括工程，物理，經濟學和生物學在內的許多學科中起着突出的作用。
在純數學中，微分方程從幾個不同的角度進行研究，主要涉及到它們的解 - 滿足方程的函數集。只有最簡單的微分方程可以通過顯式公式求解;然而，可以確定給定微分方程的解的一些性質而不找到其確切形式。
如果解決方案的自包含公式不可用，則可以使用計算機數值近似解決方案。動力系統理論強調了微分方程描述的系統的定性分析，而已經開發了許多數值方法來確定具有給定精確度的解決方案。
普通微分方程
普通微分方程或ODE是包含一個獨立變量及其導數的函數的方程式。與「偏微分方程」相比，術語「普通」與對於多於一個的獨立變量相關。
具有可以被加上和乘以係數的解的線性微分方程被明確定義和理解，並且獲得精確的閉合形式的解。相比之下，缺乏添加劑解決方案的ODE是非線性的，解決它們是非常複雜的，因為很少以封閉形式的基本函數表示它們：相反，ODE的精確和分析解決方案是串聯或整體形式。通過手動或計算機應用的圖形和數值方法可以近似ODE的解，並且可能產生有用的信息，通常在沒有精確的解析解的情況下就足夠了。
偏微分方程
偏微分方程（PDE）是包含未知多變量函數及其偏導數的微分方程。 （這與處理單個變量及其派生詞的函數的普通微分方程相反）。PDE用於制定涉及幾個變量的函數的問題，或者手動解決或用於創建相關的計算機模型。
PDE可用於描述各種各樣的現象，如聲，熱，靜電，電動力學，流體流動，彈性或量子力學。這些看似不同的物理現象可以在PDE方面類似地形式化。正如普通微分方程常常模擬一維動力學系統一樣，偏微分方程通常模擬多維系統。 PDEs在隨機偏微分方程中找到它們的泛化。
參考來源
參考資料
- ↑ 方程√(x+3)+√(x+1)=2的計算,快資訊 , 2022-03-08