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布朗运动（Brownian motion）是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动。布朗运动过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为：布朗运动W(t)是期望为0、方差为t（时间）的正态随机变量。对于任意的r小于等于s，W(t)-W(s)独立于的W(r)，且是期望为0、方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程[1] 、鞅过程和伊藤过程。
它是在西元1827年英国植物学家罗伯特•布朗利用一般的显微镜观察悬浮于水中由花粉所迸裂出之微粒时，发现微粒会呈现不规则状的运动，因而称它布朗运动。布朗运动也能测量原子的大小，因为就是由水中的水分子对微粒的碰撞产生的，而不规则的碰撞越明显，就是原子越大，因此根据布朗运动，定义原子的直径为10-8厘米。
定义
自1860年以来，许多科学家都在研究此种现象，后来发现布朗运动有下列的主要特性：
- 粒子的运动由平移及转移所构成，显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线。
- 粒子之移动显然互不相关，甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此。
- 粒子越小或液体粘性越低或温度越高时，粒子的运动越活泼。
- 粒子的成分及密度对其运动没有影响。
- 粒子的运动永不停止。
对于布朗运动之误解
值得注意的是，布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动，而不是分子的随机运动。但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动。
一般而言，花粉之直径分布于30～50μm、最小亦有10μm之谱，相较之下，水分子直径约0.3nm（非球形，故依部位而有些许差异。），略为花粉的十万分之一。因此，花粉难以产生不规则振动，事实上花粉几乎不受布朗运动之影响。在罗伯特•布朗的手稿中，“tiny particles from the pollen grains of flowers”意味著“自花粉粒中迸出之微粒子”，而非指花粉本身。然而在翻译为诸国语言时，时常受到误解，以为是“水中的花粉受布朗运动而呈现不规则运动”。积非成是之下，在大众一般观念中，此误会已然根深蒂固。
在日本，以鹤田宪次‘物理学丛话’为滥觞，岩波书店‘岩波理科辞典’、花轮重雄‘物理学読本’、汤川秀树‘素粒子’、坂田昌一‘物理学原论（上）’、平凡社‘理科辞典’、福冈伸一著‘生物与无生物之间’，甚至日本的理科课本等等，皆呈现错误之叙述。
直到1973年横浜市立大学名誉教授植物学者岩波洋造在著书‘植物之SEX‐不为人知的性之世界’中，点出此误谬之前，鲜少有人注意。国立教育研究所物理研究室长板仓圣宣在参与制作岩波电影‘回动粒子’（1970年）时，实际摄影漂浮在水中之花粉，却发现花粉完全没有布朗运动。遂于1975年3月，以“外行人与专家之间”为题，解说有关布朗运动之误会。
爱因斯坦的理论
在1905年，爱因斯坦提出了相关理论。他的理论有两个部分：第一部分定义布朗粒子扩散方程式，其中的扩散系数与布朗粒子平均平方位移相关，而第二部分连结扩散系数与可测量的物理量。以此方式，爱因斯坦可决定原子的大小，一莫耳有多少原子，或气体的克分子量。根据阿伏伽德罗定律，所有理想气体在标准温度和压力下体积为22.414升，其中包含的原子的数目被称为“阿伏伽德罗常数”。由气体的莫耳质量除以阿伏伽德罗常数等同原子量。
爱因斯坦论证的第一部分是，确定布朗粒子在一定的时间内运动的距离。因此，爱因斯坦将之简化，即讨论一个布朗粒子团的运动。
他把粒子在一个的空间中，把布朗粒子在一维方向上的运动增量 (x) 视作一个随机值（Delta 或者 x，并对其坐标进行变换，让原点成为粒子运动的初始位置）并给出概率密度函数 varphi(\Delta)。另外，他假设粒子的数量有限，并扩大了密度（单位体积内粒子数量)，展开成泰勒级数 。
性质
- 布朗运动的轨道几乎处处不可微：对于任何scriptstyle \omega\in \Omega,轨道scriptstyle t\mapsto B_t(\omega)为一个连续但是零可微的函数。
- 协方差scriptstyle \mathbb E[B_s B_t]=min (s,t)。
- 布朗运动具有强马氏性： 对于停时T,取条件scriptstyle [T < \infty ],过程scriptstyle (B^T_t)_{t\geq 0}:=(B_{T+t}-B_T)_{t\geq 0}为一个独立于scriptstyle (B_{s})_{0 \leq s<T}的布朗运动。
- 它的Fourier变换或特征函数为scriptstyle \mathbb E\left[ e^{i u B_t} \right] = e^{-\frac{tu^2}{2}}。可见，布朗运动是一个无偏，无跳跃，二项系数为1/2的Levy过程。
- 布朗运动关于时间是齐次的： 对于s > 0,scriptstyle (B_{t+s}-B_s)_{t\geq 0}是一个独立于scriptstyle (B_u)_{0\leq u \leq s}的布朗运动。
- -B是一个布朗运动。
- （稳定性） 对于c > 0，scriptstyle \left(cB_{\frac{t}{c^2}}\right)_{t\geq 0}是布朗运动。
- （时间可逆性）scriptstyle \left(tB_{\frac{1}{t}}\right)_{t > 0}在t=0之外是布朗运动。
- （常返性）只有1维和2维布朗运动是常返的：
- 如果scriptstyle d\in \{1,2\},集合<math>\scriptstyle\{t\geq 0, B_t=x\}不是有界的，对于任何scriptstyle x\in \mathbb R^d，
- 如果scriptstyle d\geq 3, \,\,\,\lim_{t\rightarrow \infty} ||B_t||=+\infty（几乎处处）。
- （反射原理）
- mathbb P[\sup_{0\leq s\leq t}B_s \geq a]=2 \mathbb P[B_t \geq a] = \mathbb P[|B_t| \geq a].
布朗运动的数学构造
利用Kolmogorov一致性定理
设(f_t)_{t\in{\mathbb{R}}_+}为L^2({\mathbb{R}}_+)空间中一列实值函数。设：
forall(u,v)\in{\mathbb{R}}_+\text{, }s(u,v)={\langle f_u,f_v \rangle}_{L^2({\mathbb{R}}_+)}=\int_{\mathbb{R}_+} f_u(x)f_v(x)dx
这列函数满足：
forall k\in\mathbb{N}^*，任意的t_1, ..., t_k\in\mathbb{R}_+,矩阵left(s(t_i,t_j)\right)_{1\leq i,j\leq k}为对称半正定的。
利用Kolmogorov一致性定理，我们可以构造高斯过程{Y_t\}_{t\in\mathbb{R}_+}，它的均值m任意， 协方差为上面定义的s。
当(f_t)_{t\in{\mathbb{R}}_+}=\left(\sqrt{c}.1\!\!1_{[0,t]} \right)_{t\in\mathbb{R}_+}，c>0为不依赖于t的常数，1\!\!1_{[0,t]}为[0,t]上的示性函数。则：
s(u,v)=c\int\limits_{\mathbb{R}}1\!\!1_{[0,u]}(s)1\!\!1_{[0,v]}(s)ds=\text{c.min}(u,v)
在这个情况下，矩阵left(s(t_i,t_j)\right)_{1\leq i,j\leq k}是对称且正定的。
我们称一个高斯过程为 布朗运动当且仅当均值为0，协方差为s。c = Var(B_1)，当c = 1时， 称之为 标准的布朗运动.
利用随机过程
Donsker定理（1951）证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。
- left( \frac{1}{\sigma\sqrt{n}} \left(\sum_{k=1}^{[nt]} U_k +(nt - [nt])U_{[nt]+1} \right) \right)_{0\leq t\leq 1} \underset{n\rightarrow \infty}{\Longrightarrow} (B_t)_{0\leq t\leq 1}
其中（Un, n ≥ 1） 独立同分布， 均值为0,方差为σ的随机变量序列。
利用傅立叶级数
设2列独立的正态scriptstyle \mathcal N(0,1)随机变量序列scriptstyle (N_k,k\in \mathbb N)和scriptstyle (N'_k,k\in \mathbb N)。定义scriptstyle (B_t)_{t\geq0}：
- B_t := t N_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{2}}{2\pi k} \left(N_k \cos(2\pi kt -1)+N_k'\sin(2\pi kt)\right)
为布朗运动。