密度矩阵查看源代码讨论查看历史

图片名称 图片来自知乎

在量子力学里，密度算符（density operator）与其对应的密度矩阵（density matrix）专门描述混合态量子系统的物理性质。纯态是一种可以直接用态向量 \psi\rangle 来描述的量子态，混合态则是由几种纯态依照统计机率组成的量子态。假设一个量子系统处于纯态\psi_1 \rangle 、\psi_2 \rangle 、\psi_3 \rangle、……的机率分别为w_1、w_2、w_3 、……，则这混合态量子系统的密度算符 rho为

{\rho} = \sum_i w_i | \psi_i \rangle \langle \psi_i 。

注意到所有机率的总和为1：

sum_i w_i =1 。

假设 \{|b_i\rang,\quad i=1,2,3,\dots,n\}是一组规范正交基 ，则对应于密度算符的密度矩阵 \varrho ，其每一个元素 \varrho_{ij}为

varrho_{ij}=\lang b_i|\rho| b_j\rang= \sum_k w_k\lang b_i | \psi_k \rangle \langle \psi_k |b_j\rang。

对于这量子系统，可观察量 A 的期望值为

langle A \rangle = \sum_i w_i \langle \psi_i | {A} | \psi_i \rangle = \sum_i \langle b_i | {\rho}{A} | b_i \rangle = \operatorname{tr}({\rho}{A}) ，

是可观察量 A 对于每一个纯态的期望值 \langle \psi_i | {A} | \psi_i \rangle 乘以其权值 w_i后的总和。

混合态量子系统出现的案例包括，处于热力学平衡或化学平衡的系统、制备历史不确定或随机变化的系统（因此不知道到底系统处于哪个纯态）。假设量子系统处于由几个纠缠在一起的子系统所组成的纯态，则虽然整个系统处于纯态，每一个子系统仍旧可能处于混合态。在量子退相干理论里，密度算符是重要理论工具。

密度算符是一种线性算符，是自伴算符、非负算符（nonnegative operator）、迹数为1的算符。关于密度算符的数学形式论是由约翰·冯·诺伊曼与列夫·郎道各自独立于1927年给出。

纯态与混合态

假设一个量子系统的量子态是纯态，则这量子态可以用态向量表示为 \psi \rangle 。几种纯态依照机率组成的量子态称为混合态。例如，假设一个量子系统处于纯态 \psi_1 \rangle 、 \psi_2 \rangle 的机率都为50%，则这量子系统处于混合态。密度矩阵专门用来表示混合态。任何量子态，不管是纯态，还是混合态，都可以用密度矩阵表示。

混合态与叠加态的概念不同，几种纯态通过量子叠加所组成的叠加态仍旧是纯态。例如，\psi_1 \rangle + | \psi_2 \rangle)/\sqrt是个纯态。

光子偏振案例

光子的两种圆偏振态，右旋圆偏振态与左旋圆偏振态，分别以态向量 <R\rangle一般地，光子偏振所处于的叠加态可以表示为 alpha|R\rangle+\beta|L\rangle ；其中，alpha 、beta 是系数。这一般式可以表示平面偏振态、圆偏振态、椭圆偏振态等等。

假若让处于叠加态 (|R\rangle+|L\rangle)/\sqrt 的光子通过左旋圆偏振器，则出射的光子处于左旋圆偏振态L\rangle ；假若通过右旋圆偏振器，则出射的光子处于右旋圆偏振态 R\rangle 。对于这两种圆偏振模，光子强度都会减半，貌似意味著叠加态 R\rangle+|L\rangle)/\sqrt 的一半光子处于量子态 R\rangle，另一半处于量子态L\rangle ，但这种解释并不正确，处于量子态 R\rangle 与 L\rangle 的光子都有可能被垂直平面偏振器吸收，但是处于量子态 R\rangle+|L\rangle)/\sqrt的光子不会被垂直平面偏振器吸收。

从白炽灯发射出的光子是一种非偏振态光子，不能用叠加态 alpha|R\rangle+\beta|L\rangle 来描述。特别而言，与平面偏振态光子不同，它通过任何偏振器后都会失去50%强度，与圆偏振态光子不同，使用波片（waveplate）不能直接将它改变为平面偏振态光子。非偏振态光子可以描述为，处于 R \rangle 的机率是50%，处于 L \rangle 的机率是50%。它也可以描述为，处于垂值偏振态的机率是50%，处于水平偏振态的机率是50%。

非偏振态光子的量子态不是纯态，而是由几种纯态依照统计机率组成。它可以由50%右旋圆偏振态与50%左旋圆偏振态组成，或者，它可以由50%垂直偏振态与50%水平偏振态组成。这两种组合无法做实验辨识区分，因此它们被视为同样的混合态。密度算符含有混合态的所有资料，足够计算任何关于混合态的可测量性质。

混合态到底源自何处？试想非偏振态光子是怎样制成的。一种方法是利用处于动力学平衡的系统，这系统拥有很多个微观态（microstate），伴随每一个微观态都有其发生的机率（波兹曼因子），它们会因热力学涨落（thermal fluctuation）从一个微观态变换到另一个微观态。热力学随机性可以解释白炽灯怎样发射非偏振光子。另一种方法是引入不确定性于系统的制备程序，例如，将光束通过表面粗糙的双折射晶体，使得光束的不同部分获得不同偏振。第三种方法应用EPR机制，有些放射性衰变会发射两个光子朝著反方向移动离开，这纠缠系统的量子态为R,L\rangle+|L,R\rangle)/\sqrt ，整个系统是处于纯态，但是每一个光子子系统的物理行为如同非偏振态光子，从分析光子子系统的约化密度算符，可以得到这结论。

一般而言，混合态时常会出现于几种纯态的统计性混合（例如热力学平衡）、制备程序的不确定性（例如光子可能移动于稍微不同路径）、包含在纠缠系统内的子系统（例如EPR机制）。