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乘积
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乘积，英语称作 product。在初等算术中的基本定义为，由两个或两个以上的数或量相乘所得出的数或量。有时简称为积。

基本信息

中文名 乘积

外文名 product

拼音 chéngjī

定义 由两个或以上的数或量相乘

相关术语 加减乘除

应用学科 数学

定义

乘积是数学中多个不同概念的称呼。算术中，两个数或多个数相乘得到的结果称为它们的积或乘积。当相乘的数是实数或复数的时候，相乘的顺序对积没有影响，这称为交换性。当相乘的是四元数或者矩阵，或者某些代数结构里的元素的时候，顺序会对作为结果的乘积造成影响。这说明这些对象的乘法没有交换性。

当相乘的对象多于两个的时候，常常使用连乘号∏(大写的π)表示。就如同多个对象的加法使用∑作为符号一样。一般约定，相乘的对象只有一个的时候，乘积是对象本身;没有相乘的对象时也可以约定所谓的"空积"为1。

代数对象的积

各种代数结构中的对象可以通过定义不同的二元运算得到不同的积。比如说，平面向量可以定义点积，三维向量可以定义叉积和混合积。常见的积还包括:

向量空间中两个向量的内积

矩阵集合中矩阵的乘积

矩阵的阿达马乘积

矩阵的克罗内克乘积

张量的外积

张量的张量积

两个函数的逐点乘积

代数结构的积

在研究抽象代数中的代数结构时，常常会用到代数结构的积的概念。两个代数结构的积，一般定义为将两个代数结构里的元素通过一个二元映射对应为一个新的元素，然后将新的元素通过适当的规则组成的新的代数结构。如果两个代数结构的元素个数都是有限个，那么它们的积的元素个数将会是它们分别元素个数的乘积。这也是这种新代数结构被称为积的原因之一。

常见的代数结构的积有:

笛卡儿积

向量空间的直积

群子集的乘积

群的自由积

拓扑空间的积

代数学定义

乘积的概念取决于"乘法"概念的定义。 当人们将乘法的对象集合提升为更一般的集合，诸如群、环、域等时， 乘积的概念也将有所变化。

设A是一个集合， 我们定义乘法F:A ×A→A, 即一个从A与自身的笛卡尔积到A的映射。 设(x,y)∈A×A， 那么我们称像元素F(x,y)为x和y的乘积， 简记为xy。

例子

1. 整数上两个元素的乘积就是通常的定义。

2. 矩阵的乘积仍是一个矩阵， 它的计算方式则是按照通常的矩阵乘法。

3. 两个函数的卷积也能视为某种乘法， 从而其乘积也是一个函数。