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朱世杰（1249年－1314年），字漢卿，號松庭，燕山人，元代數學家、教育家，畢生從事數學教育。朱世杰在当时天元术的基础上发展出“四元术”，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。此外他还创造出“垛积法”，即高阶等差数列的求和方法，与“招差术”，即高次内插法。主要著作是《算学启蒙》与《四元玉鉴》。
生平与著作
古籍中对朱世杰的生平介绍不多，只知道他曾以数学名家的身份游历四方，从事教学。朱世杰年轻时遍读北方算学家著作，李冶的《测圆海镜》一书对他影响很大。后来他还学习了李德载的二元术和刘大鉴的三元术，懂得了如何建立并解出二元、三元的高次方程组。在1270年代时，他已经是北方知名的算学家了。 公元1279年，元灭南宋，朱世杰也来到南方游学。他接结识了不少南方的数学家，接触到了南方的算书，尤其是秦九韶的《数书九章》和杨辉的著作。后来，朱世杰到扬州定居，慕名而来求学的人络绎不绝[1][2]。大德三年（公元1299年），他的著作《算学启蒙》在扬州刊刻。《算学启蒙》分三卷，二十门，259问，由浅入深，循序渐进，从一位数的乘法开始，内容包括了各类乘除法歌诀、各类面积和体积以及算术问题，还有分数运算、垛积法、盈不足术，一直讲到天元术。大德七年（1303年），他的代表作《四元玉鉴》也书成付梓。《四元玉鉴》分三卷，二十四门，共收录288个问题，都与方程或方程组的求解相关。其中关于四元方程组的问题有七个，三元的有13个，二元的有36个。书中给出了多元高次方程组的消元方法，以及用正负开方术求数值解的方法[3]。此外，受到南方数学重实用，重口诀的风气，朱世杰在书中吸纳了一些日用算法、商用算法和通俗歌诀。
数学思想
朱世杰的数学成果代表了宋元以来的最高水平，正是因为他吸取了各种先进的思想，并加以创造性的发展。朱世杰对算理十分重视，认为数学的基础是数学理论。朱世杰的方程理论已经超出了实际中的计算需要，而具有更加纯粹的数学性质，提高了数学的抽象程度和一般化程度。《四元玉鉴》中列出过高达十次的方程。但同时朱世杰也很重视天元术等数学理论的实际应用，著作中的许多问题都有实际的背景。
辅助未知数
在解分数系数的方程组时，传统的方法是用各项乘以分母的最小公倍数，以转换为整系数方程组。在《算学启蒙》一书中，朱世杰采用设辅助未知数的方法，将分数系数转化为整数系数。李冶在其著作中曾用设辅助未知数的方法转化方程，而朱世杰将这种方法推广应用到方程组上。
无理方程的转化
无理方程是指出现了关于未知数的无理表达式的方程。李冶处理过根式，但并未解过无理方程。朱世杰著作中的无理方程是中国算学史上的首创。朱世杰的处理方法是将无理式设为辅助未知数，通过变量代换将无理方程转化为有理方程来解决。这种方法只能针对只有一个无理式的无理方程，当出现形如<math>\sqrt{A} + \sqrt{B} = C</math> 的方程时，朱世杰则通过两次平方，将其转为有理方程。
消元法
解多元高次方程组的关键是将其中的多个未知数消去，转化为一元方程求解。朱世杰创造了一套完整的消元方法，称为四元消法。他通过方程组中不同方程的配合，依次消掉各个未知数，化四元为三元、二元以至一元。