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圆幂

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圆幂 过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B(可重合，即切线)，L2与圆交于C、D。则PA·PB=PC·PD。若圆半径为r，则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2(不加绝对值，原因见下) 为定值。这个值称为点P到圆O的幂。(事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值)

基本信息

中文名称 圆幂

外文名称 Power of a Point

表达式 |OP^2-R^2|

适用领域 平面几何

应用学科 数学

定义

假设平面上有一圆O，其半径为R，有一点P在圆O外，过P任作一直线与⊙O交于点A、B，PA与PB的乘积即为P到⊙O的幂，数值为OP^2-R^2。

若P点在圆内，则圆幂为R^2-OP^2;综上所述，圆幂为|OP^2-R^2|。

符号:圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。

由来

过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B(可重合，即切线)，L2与圆交于C、D。则PA·PB=PC·PD。若圆半径为r，则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| (要加绝对值，原因见下)为定值。这个值称为点P到圆O的幂。(事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值)

若点P在圆内，类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2|

故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差，而过这一点引任意直线交圆于A、B，那么PA·PB等于圆幂的绝对值。