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{| class="wikitable" align="right" |- | style="background: #FF2400" align= center| '''<big>矩阵的秩</big>''' |- |<center><img src=https://p1.ssl.qhimg.com/t0165004a9b557241ba.jpg width="300"></center> <small>[https://baike.so.com/gallery/list?ghid=first&pic_idx=4&eid=5410864&sid=5648959 来自 网络 的图片]</small> |- |- | align= light| |} '''矩阵的秩''',在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。 通俗一点说,如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。 =='''简介'''== 矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要[[概念]]。 设A是一组向量,定义A的最大无关组中向量的个数为A的秩。 定义1. 在m*n矩阵A中,任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵,此子矩阵的行列式,称为A的一个k阶子式。 例如,在阶梯形矩阵中,选定1,3行和3,4列,它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。 定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A 的秩,记作rA,或rankA或R(A)。 特别规定零矩阵的秩为零。 显然rA≤min(m,n) 易得: 若A中至少有一个r阶子式不等于零,且在r<min(m,n)时,A中所有的r+1阶子式全为零,则A的秩为r。 由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n,通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)¹ 0;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det(A)=0。 由行列式的性质1(1.5[4])知,矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。 例1. 计算下面矩阵的秩, 而A的所有的三阶子式,或有一行为零;或有两行成比例,因而所 有的三阶子式全为零,所以rA=2。 =='''评价'''== (1)转置后秩不变 (2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵 (3)r(kA)=r(A),k不等于0 (4)r(A)=0 <=> A=0 (5)r(A+B)<=r(A)+r(B) (6)r(AB)<=min(r(A),r(B)) (7)r(A)+r(B)-n<=r(AB) 特别的:A:m*n,B:n*s,AB=0 -> r(A)+r(B)<=n (8)P,Q为可逆矩阵, 则 r(PAQ)=r(A) (9)n阶方阵A,若|A|=0,r(A)<n。否则r(A)=n (10)若Ax=B有解,则r(A)=r(A,B) (11)若A~B,则r(A)=r(B) (12)若所有n阶子式为零,则r(A)<t (t为A的逆序数) (13)A中若有S阶非零子式,则r(A)>=S<ref>[https://g.pconline.com.cn/x/1532/15320637.html 矩阵的秩]搜狗</ref> =='''参考文献'''== [[Category:310 數學總論]]
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