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| 矩陣的秩 |
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矩陣的秩,在線性代數中，一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數目。類似地，行秩是A的線性無關的橫行的極大數目。
通俗一點說，如果把矩陣看成一個個行向量或者列向量，秩就是這些行向量或者列向量的秩，也就是極大無關組中所含向量的個數。
簡介
矩陣的秩是反映矩陣固有特性的一個重要概念。
設A是一組向量，定義A的最大無關組中向量的個數為A的秩。
定義1. 在m*n矩陣A中，任意決定k行和k列交叉點上的元素構成A的一個k階子矩陣，此子矩陣的行列式，稱為A的一個k階子式。
例如，在階梯形矩陣中，選定1，3行和3，4列，它們交叉點上的元素所組成的2階子矩陣的行列式就是矩陣A的一個2階子式。
定義2. A=(aij)m×n的不為零的子式的最大階數稱為矩陣A
的秩，記作rA，或rankA或R(A)。
特別規定零矩陣的秩為零。
顯然rA≤min(m,n) 易得：
若A中至少有一個r階子式不等於零，且在r<min(m,n)時，A中所有的r+1階子式全為零，則A的秩為r。
由定義直接可得n階可逆矩陣的秩為n，通常又將可逆矩陣稱為滿秩矩陣, det(A)¹ 0；不滿秩矩陣就是奇異矩陣，det(A)=0。
由行列式的性質1(1.5[4])知，矩陣A的轉置AT的秩與A的秩是一樣的。
例1. 計算下面矩陣的秩，
而A的所有的三階子式，或有一行為零；或有兩行成比例，因而所
有的三階子式全為零，所以rA=2。
評價
(1)轉置後秩不變
(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩陣
(3)r(kA)=r(A),k不等於0
(4)r(A)=0 <=> A=0
(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)
(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))
(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)
特別的：A:m*n,B:n*s,AB=0 -> r(A)+r(B)<=n
(8)P,Q為可逆矩陣, 則 r(PAQ)=r(A)
（9）n階方陣A，若|A|=0，r（A）<n。否則r（A）=n
（10）若Ax=B有解，則r（A）=r（A，B）
（11）若A~B，則r（A）=r（B）
（12）若所有n階子式為零，則r（A）<t (t為A的逆序數)
（13）A中若有S階非零子式，則r（A）>=S[1]