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矩陣的秩 |
矩陣的秩,在線性代數中,一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數目。類似地,行秩是A的線性無關的橫行的極大數目。
通俗一點說,如果把矩陣看成一個個行向量或者列向量,秩就是這些行向量或者列向量的秩,也就是極大無關組中所含向量的個數。
簡介
矩陣的秩是反映矩陣固有特性的一個重要概念。
設A是一組向量,定義A的最大無關組中向量的個數為A的秩。
定義1. 在m*n矩陣A中,任意決定k行和k列交叉點上的元素構成A的一個k階子矩陣,此子矩陣的行列式,稱為A的一個k階子式。
例如,在階梯形矩陣中,選定1,3行和3,4列,它們交叉點上的元素所組成的2階子矩陣的行列式就是矩陣A的一個2階子式。
定義2. A=(aij)m×n的不為零的子式的最大階數稱為矩陣A
的秩,記作rA,或rankA或R(A)。
特別規定零矩陣的秩為零。
顯然rA≤min(m,n) 易得:
若A中至少有一個r階子式不等於零,且在r<min(m,n)時,A中所有的r+1階子式全為零,則A的秩為r。
由定義直接可得n階可逆矩陣的秩為n,通常又將可逆矩陣稱為滿秩矩陣, det(A)¹ 0;不滿秩矩陣就是奇異矩陣,det(A)=0。
由行列式的性質1(1.5[4])知,矩陣A的轉置AT的秩與A的秩是一樣的。
例1. 計算下面矩陣的秩,
而A的所有的三階子式,或有一行為零;或有兩行成比例,因而所
有的三階子式全為零,所以rA=2。
評價
(1)轉置後秩不變
(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩陣
(3)r(kA)=r(A),k不等於0
(4)r(A)=0 <=> A=0
(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)
(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))
(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)
特別的:A:m*n,B:n*s,AB=0 -> r(A)+r(B)<=n
(8)P,Q為可逆矩陣, 則 r(PAQ)=r(A)
(9)n階方陣A,若|A|=0,r(A)<n。否則r(A)=n
(10)若Ax=B有解,則r(A)=r(A,B)
(11)若A~B,則r(A)=r(B)
(12)若所有n階子式為零,則r(A)<t (t為A的逆序數)
(13)A中若有S階非零子式,則r(A)>=S[1]