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隱函數 |
隱函數,如果方程f(x,y)=0能確定y是x的函數,那麼稱這種方式表示的函數是隱函數。
簡介
隱函數不一定能寫為y=f(x)的形式,如x^2+y^2=1。因此按照函數「設x和y是兩個變量,D是實數集的某個子集,若對於D中的每個值x,變量x按照一定的法則有一個確定的值y與之對應,稱變量y為變量x的函數,記作 y=f(x).」的定義,隱函數不一定是「函數」,而是「方程」。
其實總的說來,函數都是方程,但方程卻不一定是函數。
評價
設方 程P(x, y)=0確定y是x的函數, 並且可導. 現在可以利用複合函數求導公式可求出隱函數y對x的導數.
例1 方程 x2+y2-r 2=0確定了一個以x為自變量, 以y為因變量的數, 為了求y對x的導數, 將上式兩邊逐項對x求導, 並將y2看作x的複合函數, 則有
(x2)+ (y2)- (r 2)=0,
即 2x+2yy『=0,
於是得 .
從上例可以看到, 在等式兩邊逐項對自變量求導數, 即可得到一個包含y『的一次方程, 解出y¢, 即為隱函數的導數.
例2 求由方程y2=2px所確定的隱函數y=f(x)的導數.
解: 將方程兩邊同時對x求導, 得
2yy』=2p,
解出y『即得
例3 求由方程y=x ln y所確定的隱函數y=f(x)的導數.
解: 將方程兩邊同時對x求導, 得
y¢=ln y+x× ×y』 解出y『;即得 .
例4 由方程x2+x y+y2=4確定y是x的函數, 求其曲線上點(2, -2)處的切線方程.
解: 將方程兩邊同時對x求導, 得
2x+y+x y』+2y y=0,
解出y『即得
所求切線的斜率為
k=y』 x=2,y=-2=1,
於是所求切線為
y-(-2)=×(x-2), 即y=x-4.[1]