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曲線的普通定義就是在幾何空間中的「彎曲了的線」。而直線是一種特殊的曲線，只不過它的曲率為零。在《解析幾何》中，曲線用一組連續函數的方程組來表示。

曲線和直線都是指歐幾里得幾何所定義的歐幾里得空間中的相關概念。此外，還存在多種不為多數人所知的非歐幾里得幾何，其中的直線和曲線的定義和歐幾里得幾何的定義有很大差別，甚至不能類比。想深入學習數學的人切忌將不同幾何空間中的同名概念相互混淆。

基本定義

按照經典的定義，從（a,b）到R3中的連續映射就是一條曲線，這相當於是說：

(1)R3中的曲線是一個一維空間的連續像，因此是一維的。

(2)R3中的曲線可以通過直線做各種扭曲得到。

(3)說參數的某個值，就是說曲線上的一個點，但是反過來不一定，因為我們可以考慮自交的曲線。

微分幾何就是利用微積分來研究幾何的學科。為了能夠應用微積分的知識，我們不能考慮一切曲線，甚至不能考慮連續曲線，因為連續不一定可微。這就要我們考慮可微曲線。但是可微曲線也是不太好的，因為可能存在某些曲線，在某點切線的方向不是確定的，這就使得我們無法從切線開始入手，這就需要我們來研究導數處處不為零的這一類曲線，我們稱它們為正則曲線。 正則曲線才是經典曲線論的主要研究對象。

曲線：任何一根連續的線條都稱為曲線。包括直線、折線、線段、圓弧等。曲線是1-2維的圖形，參考《分數維空間》。處處轉折的曲線一般具有無窮大的長度和零的面積，這時，曲線本身就是一個大於1小於2維的空間。微分幾何學研究的主要對象之一。直觀上，曲線可看成空間質點運動的軌跡。曲線的更嚴格的定義是區間α，b)到E3中的映射r:α,b)E3。有時也把這映射的像稱為曲線。

具體地說，設Oxyz是歐氏空間E3中的笛卡兒直角坐標系，r為曲線C上點的向徑，於是有。上式稱為曲線C的參數方程，t稱為曲線C的參數，並且按照參數增加的方向自然地確定了曲線C的正向。曲線論中常討論正則曲線，即其三個坐標函數x(t)，y(t)，z(t)的導數均連續且對任意t不同時為零的曲線。對於正則曲線，總可取其弧長s作為參數，它稱為自然參數或弧長參數。弧長參數s用 來定義，它表示曲線C從r(α)到r(t)之間的長度,以下還假定曲線C的坐標函數都具有三階連續導數，即曲線是C3階的。

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