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数列
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{| class="wikitable" style="float:right; margin: -10px 0px 10px 20px; text-align:left"
|<center>'''XXX'''<br><img src="https://gimg2.baidu.com/image_search/src=http%3A%2F%2Ffile1.renrendoc.com%2Ffileroot_temp2%2F2021-2%2F18%2Fb0d18730-f5e9-4ac1-9684-4daaba7c7283%2Fb0d18730-f5e9-4ac1-9684-4daaba7c72831.gif&refer=http%3A%2F%2Ffile1.renrendoc.com&app=2002&size=f9999,10000&q=a80&n=0&g=0n&fmt=auto?sec=1662279888&t=0acbc86f8cfd90ec56c7d06157576a1c" width="280"></center><small>[https://www.renrendoc.com/paper/114147489.html 圖片來自人人]</small>
|}'''数列'''(sequence of number),是以 [[ 正整数集 ]] (或它的有限 [[ 子集 ]] )为 [[ 定义域 ]] 的函数,是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项,以此类推,排在第n位的数称为这个数列的第n项,通常用an表示。
著名的数列有 [[ 斐波那契数列 ]] , [[ 三角函数 ]] , [[ 卡特兰数 ]] , [[ 杨辉三角 ]] 等。
==由来==
===三角形数===
传说古希腊 [[ 毕达哥拉斯 ]] (约 [[ 公元 前570前]]570-约公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数。比如,他们研究过:
由于这些数可以用如图1所示的三角形点阵表示,他们就将其称为三角形数。
===正方形数===
类似地,被称为正方形数,因为这些数能够表示成 [[ 正方形 ]] 。因此,按照一定顺序排列的一列数称为数列。
==概念==
===函数解释===
数列的函数理解:
①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和 [[ 值域 ]] 上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1,2,3,…,n}的函数,其中的{1,2,3,…,n}不能省略。
②用函数的观点认识数列是重要的思想方法,一般情况下函数有三种表示方法,数列也不例外,通常也有三种表示方法:a.列表法;b。图像法;c. [[ 解析法 ]] 。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。
③函数不一定有 [[ 解析式 ]] ,同样数列也并非都有 [[ 通项公式 ]] 。
===一般形式===
数列的一般形式可以写成简记为{an}。
项数列中的项必须是数,它可以是实数,也可以是 [[ 复数 ]] 。
用符号{an}表示数列,只不过是“借用” [[ 集合 ]] 的符号,它们之间有本质上的区别:1.集合中的元素是互异的,而数列中的项可以是相同的。2.集合中的元素是无序的,而数列中的项必须按一定顺序排列,也就是必须是有序的。
==分类==
(1)有穷数列和无穷数列:
项数有限的数列为“ [[ 有穷数列 ]] ”(finite sequence);项数无限的数列为“ [[ 无穷数列 ]] ”(infinite sequence)。
(2)对于正项数列:(数列的各项都是正数的为正项数列)
1)从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做 [[ 递增数列 ]] ;如:1,2,3,4,5,6,7;
2)从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做 [[ 递减数列 ]] ;如:8,7,6,5,4,3,2,1;
3)从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列(摇摆数列);
(3)周期数列:各项呈周期性变化的数列叫做 [[ 周期数列 ]] (如 [[ 三角函数 ]] );
(4)常数数列:各项相等的数列叫做 [[ 常数数列 ]] (如:2,2,2,2,2,2,2,2,2)。
==公式==
(1)通项公式:数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式,如。 [[ 数列通项公式 ]] 的特点:1)有些数列的通项公式可以有不同形式,即不唯一;2)有些数列没有通项公式(如:素数由小到大排成一列2,3,5,7,11,...)。
(2)递推公式:如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的 [[ 递推公式 ]] 。数列递推公式特点:1)有些数列的递推公式可以有不同形式,即不唯一。2)有些数列没有递推公式,即有递推公式不一定有通项公式。
==等差数列==
===定义===
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个 [[ 常数 ]] ,这个数列就叫做等差数列(arithmetic sequence),这个常数叫做等差数列的公差(common difference),公差通常用字母d表示,前n项和用Sn表示。等差数列可以缩写为A.P.(Arithmetic Progression) [1] 。
===通项公式===
an=a1+(n-1)d
由三个数a,A,b组成的等差数列堪称最简单的等差数列。这时,A叫做a与b的等差中项(arithmetic mean)。有关系:A=(a+b)÷2。
===前n项和===
Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①
(1)任意两项am,an的关系为:an=am+(n-m)d,它可以看作等差数列广义的通项公式。
(2)从等差数列的定义、 [[ 通项公式 ]] ,前n项和公式还可推出:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈N*。
(3)若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq。
==等比数列==
===定义===
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做 [[ 等比数列 ]] (geometric sequence)。这个常数叫做等比数列的 [[ 公比 ]] (common ratio),公比通常用字母q表示。
等比数列可以缩写为G.P.(Geometric Progression)。
===等比中项===
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的 [[ 等比中项 ]] 。
有关系:;。
注:两个非零同号的实数的等比中项有两个,它们互为 [[ 相反数 ]] ,所以是a、G、b三数成等比数列的必要不充分条件。
===通项公式===
(其中首项是,公比是q);
===前n项和===
当q≠1时,等比数列的前n项和的公式为:;
当q=1时,等比数列的前n项和的公式为:;
前n项和与通项的关系:;(n≥2)。
===性质===
==等和数列==
“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。
对一个数列,如果其任意的连续k(k≥2)项的和都相等,我们就把此数列叫做等和数列,它的性质是:必定是循环数列。
==参考文献==