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数列
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{| class="wikitable" style="float:right; margin: -10px 0px 10px 20px; text-align:left"
|<center>'''XXX'''<br><img src="https://gimg2.baidu.com/image_search/src=http%3A%2F%2Ffile1.renrendoc.com%2Ffileroot_temp2%2F2021-2%2F18%2Fb0d18730-f5e9-4ac1-9684-4daaba7c7283%2Fb0d18730-f5e9-4ac1-9684-4daaba7c72831.gif&refer=http%3A%2F%2Ffile1.renrendoc.com&app=2002&size=f9999,10000&q=a80&n=0&g=0n&fmt=auto?sec=1662279888&t=0acbc86f8cfd90ec56c7d06157576a1c" width="280"></center><small>[https://www.renrendoc.com/paper/114147489.html 圖片來自人人]</small>
|}'''数列'''（sequence of number），是以 [[ 正整数集 ]] （或它的有限 [[ 子集 ]] ）为 [[ 定义域 ]] 的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。
著名的数列有 [[ 斐波那契数列 ]] ， [[ 三角函数 ]] ， [[ 卡特兰数 ]] ， [[ 杨辉三角 ]] 等。
==由来==
===三角形数===
传说古希腊 [[ 毕达哥拉斯 ]] （约 [[ 公元 前570前]]570-约公元前500年）学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数。比如，他们研究过：
由于这些数可以用如图1所示的三角形点阵表示，他们就将其称为三角形数。
===正方形数===
类似地，被称为正方形数，因为这些数能够表示成 [[ 正方形 ]] 。因此，按照一定顺序排列的一列数称为数列。
==概念==
===函数解释===
数列的函数理解：
①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和 [[ 值域 ]] 上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。
②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法；b。图像法；c. [[ 解析法 ]] 。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。
③函数不一定有 [[ 解析式 ]] ，同样数列也并非都有 [[ 通项公式 ]] 。
===一般形式===
数列的一般形式可以写成简记为{an}。
项数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是 [[ 复数 ]] 。
用符号{an}表示数列，只不过是“借用” [[ 集合 ]] 的符号，它们之间有本质上的区别：1.集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。2.集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，也就是必须是有序的。
==分类==
（1）有穷数列和无穷数列：
项数有限的数列为“ [[ 有穷数列 ]] ”（finite sequence）；项数无限的数列为“ [[ 无穷数列 ]] ”（infinite sequence）。
（2）对于正项数列：（数列的各项都是正数的为正项数列）
1）从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做 [[ 递增数列 ]] ；如：1，2，3，4，5，6，7；
2）从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做 [[ 递减数列 ]] ；如：8，7，6，5，4，3，2，1；
3）从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列（摇摆数列）；
（3）周期数列：各项呈周期性变化的数列叫做 [[ 周期数列 ]] （如 [[ 三角函数 ]] ）；
（4）常数数列：各项相等的数列叫做 [[ 常数数列 ]] （如：2，2，2，2，2，2，2，2，2）。
==公式==
（1）通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式，如。 [[ 数列通项公式 ]] 的特点：1）有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一；2）有些数列没有通项公式（如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...）。
（2）递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 [[ 递推公式 ]] 。数列递推公式特点：1）有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。2）有些数列没有递推公式，即有递推公式不一定有通项公式。
==等差数列==
===定义===
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个 [[ 常数 ]] ，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示，前n项和用Sn表示。等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression） [1] 。
===通项公式===
an=a1+(n-1)d
由三个数a，A，b组成的等差数列堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项（arithmetic mean）。有关系：A=(a+b)÷2。
===前n项和===
Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①
（1）任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d，它可以看作等差数列广义的通项公式。
（2）从等差数列的定义、 [[ 通项公式 ]] ，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N*。
（3）若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq。
==等比数列==
===定义===
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做 [[ 等比数列 ]] （geometric sequence）。这个常数叫做等比数列的 [[ 公比 ]] （common ratio），公比通常用字母q表示。
等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）。
===等比中项===
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的 [[ 等比中项 ]] 。
有关系：；。
注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为 [[ 相反数 ]] ，所以是a、G、b三数成等比数列的必要不充分条件。
===通项公式===
（其中首项是，公比是q）；
===前n项和===
当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为：；
当q=1时，等比数列的前n项和的公式为：；
前n项和与通项的关系：；（n≥2）。
===性质===
==等和数列==
“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
对一个数列，如果其任意的连续k（k≥2）项的和都相等，我们就把此数列叫做等和数列，它的性质是：必定是循环数列。
==参考文献==