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雅可比矩陣

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雅可比矩陣,在向量微積分中，雅可比矩陣是一階偏導數以一定方式排列成的矩陣，其行列式稱為雅可比行列式。

簡介

在向量微積分中，雅可比矩陣是一階偏導數以一定方式排列成的矩陣，其行列式稱為雅可比行列式。還有，在代數幾何中，代數曲線的雅可比量表示雅可比簇:伴隨該曲線的一個群簇，曲線可以嵌入其中。

它們全部都以數學家雅可比命名;英文雅可比量"Jacobian"可以發音為[ja ˈko bi ən]或者[ʤə ˈko bi ən]。

雅可比矩陣的重要性在於它體現了一個可微方程與給出點的最優線性逼近。因此，雅可比矩陣類似於多元函數的導數。

評價

二維下dx(u,v)dy(u,v)=Jdudv成立

證明:對於曲面x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元，即小曲邊四邊形ABCD，其中

A(u,v),B(u+△u,v),C(u+△u,v+△v),D(u,v+△v),這個曲邊四邊形ABCD可以近似看成由微小向量B(u+△u,v)-A(u,v)和D(u,v+△v)-A(u,v)張成。利用中值定理可知:

(u+△u,v)-(u,v)=Mdu

(u,v+△v)-(u,v)=Ndv

式中M，N為偏導數形式，可以通過簡單計算得出。

當變化量很小時，

將(u+△u,v)-(u,v)近似看為dx(u,v)

(u,v+△v)-(u,v)近似看為dy(u,v)，

故dx(u,v)dy(u,v)=M*Ndudv

式中M*N為二維Jacobi行列式的展開形式。

由此得證。