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阿廷模是與諾特模對偶的概念，即滿足極小條件的模。阿廷模是由奧地利代數學家阿廷發現的。德國女數學家諾特也對模的發展做出了巨大貢獻。

定義

阿廷模是與諾特模對偶的概念，即滿足極小條件的模。若A模M的任一子模降鏈M1…都是有限終止的，即存在n，使得Mn=Mn+1=…，則稱模M滿足降鏈條件。模M是阿廷模的充分必要條件是它滿足降鏈條件。若將環A看做左A模時它是阿廷模，則稱環A是左阿廷環(關於右的情形完全類似)。有單位元的阿廷環一定是諾特環。

性質

若 A 是 k-代數，任何在 k 上有限維的 A-模都是阿廷模。 若 ，且 N 與 M / N 皆為阿廷模，則 M 為阿廷模。 阿廷模的子模與商模皆為阿廷模。 阿廷模與環的性質差異之一，在於有非諾特模的阿廷模，以下將給出一個例子： 令 ，視之為 -模。升鏈 不會固定，因此 M 並非諾特模。然而我們知道 M 的任何子模皆形如 ，由此可知任何降鏈皆可寫成 其中 ni + 1 | ni，故將固定，於是 M 是阿廷模。

諾特模

一種重要的模。它是阿廷模的對偶概念。即滿足極大條件的模。若A模M的任一子模升鏈M1…都是有限終止的，即存在n，使得Mn=Mn+1=…，則稱模M滿足升鏈條件。模M是諾特模的充分必要條件是它滿足升鏈條件；也等價於，M的每個子模是有限生成的。若將環A看做左A模時它是諾特模，則稱A是左諾特環(關於右的情形完全類似)。諾特環是一類概括廣的重要環，它在代數幾何等學科中有很大的應用價值。域上的多元多項式及其商環(因而代數曲線、代數曲面的坐標環)都是諾特環。

模

一個重要的代數系統。它是一個帶算子區A的交換(加)群M。給定集合A與交換群M，若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M，並且這個積滿足條件：

1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，

則稱A為M的算子區，稱M為帶算子區A的模，又稱為A上的模或A模。這時，由對應(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱為A作用到M上的運算。任意a∈A可誘導出M的自同態aM：x→ax，而考慮交換群M能否成為A模就是看能否給出映射：

μ： A→End(M)，　a→aM.

特別地，考慮A是結合環，若滿足上述條件1的A模還滿足：

2.(a+b)x=ax+bx;

3.(ab)x=a(bx);

即映射μ：A→End(M)為環同態，則稱M為左A模或左環模。由於A到M上的運算是寫在左側，所以M就稱為左A模，記為AM。類似地，有右A模M，記為MA.若A有單位元1，且又滿足條件：

4.1x=x (x∈M);

則稱M為酉模或幺模。

阿廷簡介

代數學家。生於奧地利維也納。1916年在維也納大學學習了一個學期後加入步兵團；1919年進萊比錫大學繼續學習，1921年獲博士學位;隨即去格廷根大學一年;後到漢堡大學，1923年為不支薪講師，1925年升副教授，1926年升教授。1937年移居美國，先後在聖母大學和印第安那大學執教。1946—1958年執教普林斯頓大學。1958年回到漢堡大學。1962年因心力衰竭逝世。

阿廷被公認為現代抽象代數學的先驅。1923年，他在研究非阿貝爾L級數時提出廣義互易律猜想，並於1927年證明之，從而解決了希爾伯特第9問題。他還利用這個互易律把著名的希爾伯特主猜想歸結為純粹群論問題，後來被P·H·富特文格勒證明(1930)。1926年，他引進實域的概念，從而肯定地解決了希爾伯特第17問題：n個變量的正定有理式能否表示成有理式的平方和?1944年，他提出「阿廷環」的概念，這是現代代數學的基本概念之一。阿廷提出過許多著名猜想，給代數學研究以巨大的推動。例如他在20年代提出了函數域上的黎曼猜想(韋伊於1941年給予證明)，非阿貝爾L級數是亞純的(布饒爾於1947年證明)並且也有黎曼猜想的性質(至今尚未證明);30年代他猜測有限域是擬代數閉域(幾乎立即被謝瓦萊證明)等等。他還猜測如果一個單群的階g能夠被p>g整除，則這個群必屬於已知類型(被布饒爾等於1958年證明)。他對三維空間的紐結理論研究也有貢獻。

阿廷熱愛講授各級課程，范·德·瓦爾登的名著《代數學》就是根據他和E·諾特的講課記錄整理而成的。他的著作包括《伽羅瓦理論》(Galois Theo-ry， 1942)，《代數數與代數函數》(Algebraic Numbers andAlgebraic Functions， 1950)和《幾何代數》(Geometric Alge-bra， 1957)等。1965年，斯普林格出版社出版了阿廷的文集，其中包括了他的全部49篇論文。

諾特簡介

德國女數學家。猶太人。生於德國埃爾朗根，1897年入埃爾朗根女子學院，1900年入埃爾朗根大學，1904年正式註冊成為大學生，1907年在A·戈頓指導下獲博士學位。1910年以後，她先後在艾哈德·史密特和恩斯特·費歇爾的指導下進行研究，1915年應邀赴格廷根大學工作，因為是女性，她一直沒有得到正式教職。後來，在D·希爾伯特和F·克萊因的支持下，1919年6月才成為格廷根大學的講師，1922年4月成為編外副教授。1928—1929年應邀赴莫斯科大學講學，並出席第八屆國際數學家代表大會。1933年4月，作為猶太人被納粹政府趕出大學校園，同年10月被迫移居美國，任布林·莫爾女子學院教授，1934年同時在普林斯頓高級研究所工作，1935年因外科手術事故去世。終身未婚。

諾特是20世紀最富有獨創性的女數學家，她的數學思想直接影響了30年代以後代數學乃至代數拓撲學、代數數論、代數幾何的發展。她在戴德金等人的零星結果的基礎上建立了抽象代數學體系，成為抽象代數學的奠基人之一。

諾特的早期(1907-1919)工作主要研究代數不變式及微分不變式，在博士論文《n元形的不變式理論》中給出三元四次型的不變式的完全組。還解決了有理函數域的有限有理基的存在問題。對有限群的不變式具有有限基給出一個構造性證明。她不用消去法而用直接微分法生成微分不變式，並在格廷根大學的就職論文中，討論了李群下不變式問題，給出諾特定理，把對稱性、不變性和物理的守恆律聯繫在一起，至今仍然是物理學中的基本定理之一。1920-1927年間，她主要研究交換代數。1916年後，開始接觸戴德金等人的工作，並於1920年引入「左模」、「右模」的概念，1921年在《數學紀事》上發表了交換代數(抽象環論)的奠基性的文獻《整環的理想理論》，文中建立了交換諾特環理論，並證明了准素分解定理。1926年，在論文《代數數域及代數函數域的理論的抽象構造》中給出了戴德金環一個公理刻畫，還得到了素理想因子唯一分解定理的充要條件。這兩篇論文奠定了交換環論及其應用的基礎。1927-1935年，她更多地轉向了非交換領域、表示論和超複數系的一般算子理論，在論文《超複數與表示論》(1929)和《非交換代數》(1933)和另三篇關於範數剩餘與主定理的論文中，她把表示論、理想理論及模理論統一在「超複數」這一代數的基礎上，並聯繫弗羅貝尼烏斯的表示論形成系統的代數理論。而後又把抽象理論用到數論等方面，證明了代數主定理，即：代數數域上的中心可除代數是循環代數。

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